nqereu - Metamath Proof Explorer

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Theorem nqereu 9751

Description: There is a unique element of

equivalent to each element of

. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
nqereu

Distinct variable group:

Proof of Theorem nqereu Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp2 5132	. . 3
2		pion 9701	. . . . . . . . 9
3		suceloni 7013	. . . . . . . . 9
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8
5		vex 3203	. . . . . . . . 9
6	5	sucid 5804	. . . . . . . 8
7		eleq2 2690	. . . . . . . . 9
8	7	rspcev 3309	. . . . . . . 8 $/\$
9	4, 6, 8	sylancl 694	. . . . . . 7
10	9	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
11		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . . . 14
12	11	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	2ralbidv 2989	. . . . . . . . . . . 12
14		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15	14	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16	15	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
17	16	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
19		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20	19	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21	20	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22	18, 21	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	17, 22	cbvral2v 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	23	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . 14
25		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26		pm4.63 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
27		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28		ltpiord 9709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
29	28	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
30	27, 29	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
31	30	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
32	31	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	26, 32	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
35	25, 34	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
36		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
37		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
38	37	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
39	38	2ralbidv 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
40	39	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
41		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
42	41	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
43	42	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
44	43	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
45	44	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
46	45	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
47		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
48		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
49	48	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
50	49	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
51	47, 50	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
52	51	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
53	46, 52	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
54	40, 53	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
55	54	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
56	36, 55	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
57	27, 56	mpdi 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
58	57	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
59		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
60	59	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
61	60	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
62	61	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
63	58, 62	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
64		enqer 9743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
67		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
68	65, 66, 67	ertr4d 7761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
69	68	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
70	69	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
71	63, 70	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
72	71	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
73	72	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
74	73	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
76	75	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77	76	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
78	35, 77	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
79	78	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80		mulcompi 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
81		enqbreq 9741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
82	81	anidms 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
83	80, 82	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
84		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
85		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
86		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
87	86, 5	op2ndd 7179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
88	87	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
89	88	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
90	85, 89	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
91	90	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
92		df-nq 9734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
93	91, 92	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
94	93	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
95	84, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
96		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97	96	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
98	97	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99	83, 95, 98	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
100	99	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
101	100	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
102	79, 101	pm2.61d2 172	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
103	102	ralrimivv 2970	. . . . . . . . . . . . . 14
104	24, 103	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
106	13, 105	tfis2 7056	. . . . . . . . . . 11
107		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . 10
109		rsp 2929	. . . . . . . . . 10
110	108, 109	syl6 35	. . . . . . . . 9
111	110	impd 447	. . . . . . . 8 $/\$
112	111	com12 32	. . . . . . 7 $/\$
113	112	rexlimdv 3030	. . . . . 6 $/\$
114	10, 113	mpd 15	. . . . 5 $/\$
115		breq2 4657	. . . . . 6
116	115	rexbidv 3052	. . . . 5
117	114, 116	syl5ibrcom 237	. . . 4 $/\$
118	117	rexlimivv 3036	. . 3
119	1, 118	sylbi 207	. 2
120		breq2 4657	. . . . . 6
121		breq2 4657	. . . . . 6
122	120, 121	anbi12d 747	. . . . 5 $/\$ $/\$
123	122	imbi1d 331	. . . 4 $/\$ $/\$
124	123	2ralbidv 2989	. . 3 $/\$ $/\$
125	64	a1i 11	. . . . . 6 $/\$
126		simpl 473	. . . . . 6 $/\$
127		simpr 477	. . . . . 6 $/\$
128	125, 126, 127	ertr4d 7761	. . . . 5 $/\$
129		mulcompi 9718	. . . . . . . . . . 11
130		elpqn 9747	. . . . . . . . . . . . . . 15
131		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133	132	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134	133	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135	131, 134	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136	135	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
137	136, 92	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
138	137	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15
139		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
140		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141	140	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142	141	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
143	139, 142	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16
144	143	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
145	130, 138, 144	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
146	145	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
147	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	147, 148	ersym 7754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
150		elpqn 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151	92	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
152	151	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
154		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
155	154	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
156	155	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
157	153, 156	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158	157	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
159	150, 152, 158	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
160	149, 159	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
161	160	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
162		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163	150, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
164	163	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
165		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166	130, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
167	166	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
168		ltsopi 9710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
169		sotric 5061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\/$
170	168, 169	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\/$
171	170	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\/$
172		notnotb 304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
173	171, 172	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\/$
174	164, 167, 173	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
175	161, 174	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$
176	175	ord 392	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
177	146, 176	mt3d 140	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
178	177	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
179	129, 178	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
180		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . 14
181		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . 14
182	180, 181	breqan12d 4669	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
183		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . 15
184	183, 162	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
185		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . 15
186	185, 165	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
187		enqbreq 9741	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
188	184, 186, 187	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
189	182, 188	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
190	150, 130, 189	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
191	190	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
192	179, 191	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
193	150	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
194		mulcanpi 9722	. . . . . . . . . . 11 $/\$
195	162, 183, 194	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10
196	193, 195	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
197	192, 196	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
198	197, 177	opeq12d 4410	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
199	193, 180	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
200	130	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
201	200, 181	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
202	198, 199, 201	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 $/\$ $/\$
203	202	ex 450	. . . . 5 $/\$
204	128, 203	syl5 34	. . . 4 $/\$ $/\$
205	204	rgen2a 2977	. . 3 $/\$
206	124, 205	vtoclg 3266	. 2 $/\$
207		breq1 4656	. . 3
208	207	reu4 3400	. 2 $/\$ $/\$
209	119, 206, 208	sylanbrc 698	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

wreu 2914

cop 4183 class class class wbr 4653

wor 5034

cxp 5112

con0 5723

csuc 5725

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

c2nd 7167

wer 7739

cnpi 9666

cmi 9668

clti 9669

ceq 9673

cnq 9674

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-ni 9694 df-mi 9696 df-lti 9697 df-enq 9733 df-nq 9734

This theorem is referenced by: nqerf 9752 enqeq 9756

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