Theorem indpi 9729

Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
indpi.1	|- ( x = 1o -> ( ph <-> ps ) )
indpi.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
indpi.3	|- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ph <-> th ) )
indpi.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
indpi.5	|- ps
indpi.6	|- ( y e. N. -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
indpi	|- ( A e. N. -> ta )

Distinct variable groups:   x, y   x, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem indpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 9705	. . . . . . 7 |- 1o e. N.
2	1	elexi 3213	. . . . . 6 |- 1o e. _V
3	2	eqvinc 3330	. . . . 5 |- ( 1o = A <-> E. x ( x = 1o /\ x = A ) )
4		indpi.4	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
5		indpi.5	. . . . . 6 |- ps
6		indpi.1	. . . . . 6 |- ( x = 1o -> ( ph <-> ps ) )
7	5, 6	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( x = 1o -> ph )
8	3, 4, 7	gencl 3235	. . . 4 |- ( 1o = A -> ta )
9	8	eqcoms 2630	. . 3 |- ( A = 1o -> ta )
10	9	a1i 11	. 2 |- ( A e. N. -> ( A = 1o -> ta ) )
11		pinn 9700	. . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
12		elni2 9699	. . . . . 6 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
13		nnord 7073	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> Ord A )
14		ordsucss 7018	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( (/) e. A -> suc (/) C_ A ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( (/) e. A -> suc (/) C_ A ) )
16		df-1o 7560	. . . . . . . . 9 |- 1o = suc (/)
17	16	sseq1i 3629	. . . . . . . 8 |- ( 1o C_ A <-> suc (/) C_ A )
18	15, 17	syl6ibr 242	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( (/) e. A -> 1o C_ A ) )
19	18	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ (/) e. A ) -> 1o C_ A )
20	12, 19	sylbi 207	. . . . 5 |- ( A e. N. -> 1o C_ A )
21		1onn 7719	. . . . . 6 |- 1o e. om
22		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1o -> ( x e. N. <-> 1o e. N. ) )
23		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1o -> ( 1o <N x <-> 1o <N 1o ) )
24	22, 23	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = 1o -> ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) <-> ( 1o e. N. /\ 1o <N 1o ) ) )
25	24, 6	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = 1o -> ( ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> ph ) <-> ( ( 1o e. N. /\ 1o <N 1o ) -> ps ) ) )
26		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x e. N. <-> y e. N. ) )
27		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( 1o <N x <-> 1o <N y ) )
28	26, 27	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) <-> ( y e. N. /\ 1o <N y ) ) )
29		indpi.2	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
30	28, 29	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> ph ) <-> ( ( y e. N. /\ 1o <N y ) -> ch ) ) )
31		pinn 9700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. N. -> x e. om )
32		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = suc y -> ( x e. om <-> suc y e. om ) )
33		peano2b 7081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. om <-> suc y e. om )
34	32, 33	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = suc y -> ( x e. om <-> y e. om ) )
35	31, 34	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( x e. N. -> y e. om ) )
36	35	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> y e. om ) )
37		ltpiord 9709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1o e. N. /\ x e. N. ) -> ( 1o <N x <-> 1o e. x ) )
38	1, 37	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. N. -> ( 1o <N x <-> 1o e. x ) )
39	38	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> 1o e. x )
40		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = suc y -> ( 1o e. x <-> 1o e. suc y ) )
41		elsuci 5791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1o e. suc y -> ( 1o e. y \/ 1o = y ) )
42		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1o e. y -> y =/= (/) )
43		0lt1o 7584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (/) e. 1o
44		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1o = y -> ( (/) e. 1o <-> (/) e. y ) )
45	43, 44	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1o = y -> (/) e. y )
46		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) e. y -> y =/= (/) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1o = y -> y =/= (/) )
48	42, 47	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1o e. y \/ 1o = y ) -> y =/= (/) )
49	41, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1o e. suc y -> y =/= (/) )
50	40, 49	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( 1o e. x -> y =/= (/) ) )
51	39, 50	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> y =/= (/) ) )
52	36, 51	jcad 555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> ( y e. om /\ y =/= (/) ) ) )
53		elni 9698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. <-> ( y e. om /\ y =/= (/) ) )
54	52, 53	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> y e. N. ) )
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> 1o <N x )
56		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( 1o <N x <-> 1o <N suc y ) )
57	55, 56	syl5ib 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> 1o <N suc y ) )
58	54, 57	jcad 555	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) ) )
59		addclpi 9714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( y +N 1o ) e. N. )
60	1, 59	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) e. N. )
61		addpiord 9706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( y +N 1o ) = ( y +o 1o ) )
62	1, 61	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) = ( y +o 1o ) )
63		pion 9701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. N. -> y e. On )
64		oa1suc 7611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. On -> ( y +o 1o ) = suc y )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. N. -> ( y +o 1o ) = suc y )
66	62, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) = suc y )
67	66	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. -> ( x = ( y +N 1o ) <-> x = suc y ) )
68	67	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = suc y /\ y e. N. ) -> x = ( y +N 1o ) )
69	68	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = suc y /\ y e. N. ) -> ( x e. N. <-> ( y +N 1o ) e. N. ) )
70	60, 69	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = suc y /\ y e. N. ) -> ( y e. N. -> x e. N. ) )
71	70	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( y e. N. -> ( y e. N. -> x e. N. ) ) )
72	71	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( y e. N. -> x e. N. ) )
73	56	biimprd 238	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( 1o <N suc y -> 1o <N x ) )
74	72, 73	anim12d 586	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) -> ( x e. N. /\ 1o <N x ) ) )
75	58, 74	impbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) <-> ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) ) )
76	75	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> ph ) <-> ( ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) -> ph ) ) )
77		indpi.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ph <-> th ) )
78	67, 77	syl6bir 244	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. N. -> ( x = suc y -> ( ph <-> th ) ) )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) -> ( x = suc y -> ( ph <-> th ) ) )
80	79	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) -> ( ph <-> th ) ) )
81	80	pm5.74d 262	. . . . . . . 8 |- ( x = suc y -> ( ( ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) -> ph ) <-> ( ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) -> th ) ) )
82	76, 81	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> ph ) <-> ( ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) -> th ) ) )
83		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x e. N. <-> A e. N. ) )
84		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( 1o <N x <-> 1o <N A ) )
85	83, 84	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) <-> ( A e. N. /\ 1o <N A ) ) )
86	85, 4	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( ( x e. N. /\ 1o <N x ) -> ph ) <-> ( ( A e. N. /\ 1o <N A ) -> ta ) ) )
87	5	2a1i 12	. . . . . . 7 |- ( 1o e. om -> ( ( 1o e. N. /\ 1o <N 1o ) -> ps ) )
88		ltpiord 9709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1o e. N. /\ y e. N. ) -> ( 1o <N y <-> 1o e. y ) )
89	1, 88	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> ( 1o <N y <-> 1o e. y ) )
90	89	pm5.32i 669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ 1o <N y ) <-> ( y e. N. /\ 1o e. y ) )
91	90	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( 1o e. y -> ( y e. N. /\ 1o <N y ) ) )
92	91	imim1d 82	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. N. -> ( ( ( y e. N. /\ 1o <N y ) -> ch ) -> ( 1o e. y -> ch ) ) )
93		ltrelpi 9711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <N C_ ( N. X. N. )
94	93	brel 5168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o <N suc y -> ( 1o e. N. /\ suc y e. N. ) )
95		ltpiord 9709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1o e. N. /\ suc y e. N. ) -> ( 1o <N suc y <-> 1o e. suc y ) )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1o <N suc y -> ( 1o <N suc y <-> 1o e. suc y ) )
97	96	ibi 256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o <N suc y -> 1o e. suc y )
98	2	eqvinc 3330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1o = y <-> E. x ( x = 1o /\ x = y ) )
99	98, 29, 7	gencl 3235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o = y -> ch )
100		jao 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1o e. y -> ch ) -> ( ( 1o = y -> ch ) -> ( ( 1o e. y \/ 1o = y ) -> ch ) ) )
101	99, 100	mpi 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1o e. y -> ch ) -> ( ( 1o e. y \/ 1o = y ) -> ch ) )
102	41, 101	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. y -> ch ) -> ( 1o e. suc y -> ch ) )
103	97, 102	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. y -> ch ) -> ( 1o <N suc y -> ch ) )
104	92, 103	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. N. /\ 1o <N y ) -> ch ) -> ( y e. N. -> ( 1o <N suc y -> ch ) ) )
105	104	impd 447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. N. /\ 1o <N y ) -> ch ) -> ( ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) -> ch ) )
106	16	sseq1i 3629	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o C_ y <-> suc (/) C_ y )
107		0ex 4790	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
108		sucssel 5819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. _V -> ( suc (/) C_ y -> (/) e. y ) )
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc (/) C_ y -> (/) e. y )
110	106, 109	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o C_ y -> (/) e. y )
111		elni2 9699	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. N. <-> ( y e. om /\ (/) e. y ) )
112		indpi.6	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. N. -> ( ch -> th ) )
113	111, 112	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ (/) e. y ) -> ( ch -> th ) )
114	110, 113	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ 1o C_ y ) -> ( ch -> th ) )
115	105, 114	syl9r 78	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ 1o C_ y ) -> ( ( ( y e. N. /\ 1o <N y ) -> ch ) -> ( ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) -> th ) ) )
116	115	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. om /\ 1o e. om ) /\ 1o C_ y ) -> ( ( ( y e. N. /\ 1o <N y ) -> ch ) -> ( ( y e. N. /\ 1o <N suc y ) -> th ) ) )
117	25, 30, 82, 86, 87, 116	findsg 7093	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ 1o e. om ) /\ 1o C_ A ) -> ( ( A e. N. /\ 1o <N A ) -> ta ) )
118	21, 117	mpanl2 717	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ 1o C_ A ) -> ( ( A e. N. /\ 1o <N A ) -> ta ) )
119	11, 20, 118	syl2anc 693	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( A e. N. /\ 1o <N A ) -> ta ) )
120	119	expd 452	. . 3 |- ( A e. N. -> ( A e. N. -> ( 1o <N A -> ta ) ) )
121	120	pm2.43i 52	. 2 |- ( A e. N. -> ( 1o <N A -> ta ) )
122		nlt1pi 9728	. . . 4 |- -. A <N 1o
123		ltsopi 9710	. . . . . 6 |- <N Or N.
124		sotric 5061	. . . . . 6 |- ( ( <N Or N. /\ ( A e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( A <N 1o <-> -. ( A = 1o \/ 1o <N A ) ) )
125	123, 124	mpan 706	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( A <N 1o <-> -. ( A = 1o \/ 1o <N A ) ) )
126	1, 125	mpan2 707	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( A <N 1o <-> -. ( A = 1o \/ 1o <N A ) ) )
127	122, 126	mtbii 316	. . 3 |- ( A e. N. -> -. -. ( A = 1o \/ 1o <N A ) )
128	127	notnotrd 128	. 2 |- ( A e. N. -> ( A = 1o \/ 1o <N A ) )
129	10, 121, 128	mpjaod 396	1 |- ( A e. N. -> ta )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   omcom 7065   1oc1o 7553   +o coa 7557   N.cnpi 9666   +N cpli 9667   <N clti 9669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-ni 9694  df-pli 9695  df-lti 9697

This theorem is referenced by:  prlem934  9855