Theorem lspsolv 19143

Description: If X is in the span of A u. { Y } but not A, then Y is in the span of A u. { X }. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsolv.v	|- V = ( Base ` W )
lspsolv.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsolv.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsolv	|- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )

Proof of Theorem lspsolv

Dummy variables r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsolv.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lspsolv.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspsolv.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
7		eqid 2622	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
8		eqid 2622	. . 3 |- { z e. V | E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( z ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) } = { z e. V | E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( z ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) }
9		lveclmod 19106	. . . 4 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
10	9	adantr 481	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> W e. LMod )
11		simpr1 1067	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> A C_ V )
12		simpr2 1068	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. V )
13		simpr3 1069	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
14	13	eldifad 3586	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> X e. ( N ` ( A u. { Y } ) ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14	lspsolvlem 19142	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
16	4	lvecdrng 19105	. . . . . . 7 |- ( W e. LVec -> (Scalar ` W ) e. DivRing )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> (Scalar ` W ) e. DivRing )
18		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
19	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> W e. LMod )
20	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> Y e. V )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
23	1, 4, 7, 21, 22	lmod0vs 18896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( 0g ` W ) )
24	19, 20, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( 0g ` W ) )
25	24	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) )
26	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> A C_ V )
27	20	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> { Y } C_ V )
28	26, 27	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { Y } ) C_ V )
29	1, 3	lspssv 18983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { Y } ) C_ V ) -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ V )
30	19, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ V )
31	30	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) C_ V )
32	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
33	31, 32	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. V )
34	1, 6, 22	lmod0vrid 18894	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = X )
35	19, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = X )
36	25, 35	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = X )
37	36, 32	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
38	37	eldifbd 3587	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> -. ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
39		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
40		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) = ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) = ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
43	39, 42	syl5ibcom 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
44	43	necon3bd 2808	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( -. ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) -> r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) )
45	38, 44	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
46		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
47		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
48		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( invr ` (Scalar ` W ) ) = ( invr ` (Scalar ` W ) )
49	5, 21, 46, 47, 48	drnginvrl 18766	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. DivRing /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
50	17, 18, 45, 49	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
51	50	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) )
52	5, 21, 48	drnginvrcl 18764	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. DivRing /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
53	17, 18, 45, 52	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
54	1, 4, 7, 5, 46	lmodvsass 18888	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
55	19, 53, 18, 20, 54	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
56	1, 4, 7, 47	lmodvs1 18891	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
57	19, 20, 56	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
58	51, 55, 57	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) = Y )
59	33	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> { X } C_ V )
60	26, 59	unssd 3789	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { X } ) C_ V )
61	1, 2, 3	lspcl 18976	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V ) -> ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S )
62	19, 60, 61	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S )
63	1, 4, 7, 5	lmodvscl 18880	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. V )
64	19, 18, 20, 63	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. V )
65		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
66	1, 6, 65	lmodvpncan 18916	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) = ( r ( .s ` W ) Y ) )
67	19, 64, 33, 66	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) = ( r ( .s ` W ) Y ) )
68	1, 6	lmodcom 18909	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) = ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
69	19, 64, 33, 68	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) = ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
70		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- A C_ ( A u. { X } )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> A C_ ( A u. { X } ) )
72	1, 3	lspss 18984	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V /\ A C_ ( A u. { X } ) ) -> ( N ` A ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
73	19, 60, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` A ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
74	73, 39	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
75	69, 74	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
76	1, 3	lspssid 18985	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V ) -> ( A u. { X } ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
77	19, 60, 76	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { X } ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
78		snidg 4206	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> X e. { X } )
79		elun2 3781	. . . . . . . 8 |- ( X e. { X } -> X e. ( A u. { X } ) )
80	33, 78, 79	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( A u. { X } ) )
81	77, 80	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
82	65, 2	lssvsubcl 18944	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S ) /\ ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) /\ X e. ( N ` ( A u. { X } ) ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
83	19, 62, 75, 81, 82	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
84	67, 83	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
85	4, 7, 5, 2	lssvscl 18955	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S ) /\ ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
86	19, 62, 53, 84, 85	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
87	58, 86	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
88	15, 87	rexlimddv 3035	1 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   -gcsg 17424   1rcur 18501   invrcinvr 18671   DivRingcdr 18747   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lssacsex  19144  lspsnat  19145  lsppratlem1  19147  lsppratlem3  19149  lsppratlem4  19150  lbsextlem4  19161  lindsenlbs  33404