Theorem lcfrlem3 36833

Description: Lemma for lcfr 36874. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem1.v	|- V = ( Base ` U )
lcfrlem1.s	|- S = (Scalar ` U )
lcfrlem1.q	|- .X. = ( .r ` S )
lcfrlem1.z	|- .0. = ( 0g ` S )
lcfrlem1.i	|- I = ( invr ` S )
lcfrlem1.f	|- F = (LFnl ` U )
lcfrlem1.d	|- D = (LDual ` U )
lcfrlem1.t	|- .x. = ( .s ` D )
lcfrlem1.m	|- .- = ( -g ` D )
lcfrlem1.u	|- ( ph -> U e. LVec )
lcfrlem1.e	|- ( ph -> E e. F )
lcfrlem1.g	|- ( ph -> G e. F )
lcfrlem1.x	|- ( ph -> X e. V )
lcfrlem1.n	|- ( ph -> ( G ` X ) =/= .0. )
lcfrlem1.h	|- H = ( E .- ( ( ( I ` ( G ` X ) ) .X. ( E ` X ) ) .x. G ) )
lcfrlem2.l	|- L = (LKer ` U )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem3	|- ( ph -> X e. ( L ` H ) )

Proof of Theorem lcfrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem1.v	. . 3 |- V = ( Base ` U )
2		lcfrlem1.s	. . 3 |- S = (Scalar ` U )
3		lcfrlem1.q	. . 3 |- .X. = ( .r ` S )
4		lcfrlem1.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` S )
5		lcfrlem1.i	. . 3 |- I = ( invr ` S )
6		lcfrlem1.f	. . 3 |- F = (LFnl ` U )
7		lcfrlem1.d	. . 3 |- D = (LDual ` U )
8		lcfrlem1.t	. . 3 |- .x. = ( .s ` D )
9		lcfrlem1.m	. . 3 |- .- = ( -g ` D )
10		lcfrlem1.u	. . 3 |- ( ph -> U e. LVec )
11		lcfrlem1.e	. . 3 |- ( ph -> E e. F )
12		lcfrlem1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. F )
13		lcfrlem1.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
14		lcfrlem1.n	. . 3 |- ( ph -> ( G ` X ) =/= .0. )
15		lcfrlem1.h	. . 3 |- H = ( E .- ( ( ( I ` ( G ` X ) ) .X. ( E ` X ) ) .x. G ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lcfrlem1 36831	. 2 |- ( ph -> ( H ` X ) = .0. )
17		lcfrlem2.l	. . 3 |- L = (LKer ` U )
18		lveclmod 19106	. . . . . 6 |- ( U e. LVec -> U e. LMod )
19	10, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
20		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
21	2	lmodring 18871	. . . . . . . 8 |- ( U e. LMod -> S e. Ring )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. Ring )
23	2	lvecdrng 19105	. . . . . . . . 9 |- ( U e. LVec -> S e. DivRing )
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. DivRing )
25	2, 20, 1, 6	lflcl 34351	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. LVec /\ G e. F /\ X e. V ) -> ( G ` X ) e. ( Base ` S ) )
26	10, 12, 13, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` X ) e. ( Base ` S ) )
27	20, 4, 5	drnginvrcl 18764	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. DivRing /\ ( G ` X ) e. ( Base ` S ) /\ ( G ` X ) =/= .0. ) -> ( I ` ( G ` X ) ) e. ( Base ` S ) )
28	24, 26, 14, 27	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I ` ( G ` X ) ) e. ( Base ` S ) )
29	2, 20, 1, 6	lflcl 34351	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. LVec /\ E e. F /\ X e. V ) -> ( E ` X ) e. ( Base ` S ) )
30	10, 11, 13, 29	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( Base ` S ) )
31	20, 3	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Ring /\ ( I ` ( G ` X ) ) e. ( Base ` S ) /\ ( E ` X ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( I ` ( G ` X ) ) .X. ( E ` X ) ) e. ( Base ` S ) )
32	22, 28, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( I ` ( G ` X ) ) .X. ( E ` X ) ) e. ( Base ` S ) )
33	6, 2, 20, 7, 8, 19, 32, 12	ldualvscl 34426	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( I ` ( G ` X ) ) .X. ( E ` X ) ) .x. G ) e. F )
34	6, 7, 9, 19, 11, 33	ldualvsubcl 34443	. . . 4 |- ( ph -> ( E .- ( ( ( I ` ( G ` X ) ) .X. ( E ` X ) ) .x. G ) ) e. F )
35	15, 34	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> H e. F )
36	1, 2, 4, 6, 17, 10, 35, 13	ellkr2 34378	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( L ` H ) <-> ( H ` X ) = .0. ) )
37	16, 36	mpbird 247	1 |- ( ph -> X e. ( L ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   -gcsg 17424   Ringcrg 18547   invrcinvr 18671   DivRingcdr 18747   LModclmod 18863   LVecclvec 19102  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372  LDualcld 34410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411

This theorem is referenced by:  lcfrlem35  36866