Theorem islbs3 19155

Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs2.v	|- V = ( Base ` W )
islbs2.j	|- J = (LBasis ` W )
islbs2.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
islbs3	|- ( W e. LVec -> ( B e. J <-> ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, s   N, s   V, s   W, s   J, s

Proof of Theorem islbs3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs2.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
2		islbs2.j	. . . . 5 |- J = (LBasis ` W )
3	1, 2	lbsss 19077	. . . 4 |- ( B e. J -> B C_ V )
4	3	adantl 482	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ B e. J ) -> B C_ V )
5		islbs2.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
6	1, 2, 5	lbssp 19079	. . . 4 |- ( B e. J -> ( N ` B ) = V )
7	6	adantl 482	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ B e. J ) -> ( N ` B ) = V )
8		lveclmod 19106	. . . . . . . 8 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
9	8	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LVec /\ B e. J /\ s C. B ) -> W e. LMod )
10		pssss 3702	. . . . . . . . 9 |- ( s C. B -> s C_ B )
11	10, 3	sylan9ssr 3617	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. J /\ s C. B ) -> s C_ V )
12	11	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LVec /\ B e. J /\ s C. B ) -> s C_ V )
13	1, 5	lspssv 18983	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ s C_ V ) -> ( N ` s ) C_ V )
14	9, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ B e. J /\ s C. B ) -> ( N ` s ) C_ V )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
16	15	lvecdrng 19105	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LVec -> (Scalar ` W ) e. DivRing )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
19	17, 18	drngunz 18762	. . . . . . . . 9 |- ( (Scalar ` W ) e. DivRing -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( W e. LVec -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
21	8, 20	jca 554	. . . . . . 7 |- ( W e. LVec -> ( W e. LMod /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) )
22	2, 5, 15, 18, 17, 1	lbspss 19082	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) /\ B e. J /\ s C. B ) -> ( N ` s ) =/= V )
23	21, 22	syl3an1 1359	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ B e. J /\ s C. B ) -> ( N ` s ) =/= V )
24		df-pss 3590	. . . . . 6 |- ( ( N ` s ) C. V <-> ( ( N ` s ) C_ V /\ ( N ` s ) =/= V ) )
25	14, 23, 24	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( W e. LVec /\ B e. J /\ s C. B ) -> ( N ` s ) C. V )
26	25	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ B e. J ) -> ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) )
27	26	alrimiv 1855	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ B e. J ) -> A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) )
28	4, 7, 27	3jca 1242	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ B e. J ) -> ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) )
29		simpr1 1067	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) -> B C_ V )
30		simpr2 1068	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) -> ( N ` B ) = V )
31		simplr1 1103	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> B C_ V )
32	31	ssdifssd 3748	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> ( B \ { x } ) C_ V )
33		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) e. _V
34	1, 33	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- V e. _V
35		ssexg 4804	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B \ { x } ) C_ V /\ V e. _V ) -> ( B \ { x } ) e. _V )
36	32, 34, 35	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> ( B \ { x } ) e. _V )
37		simplr3 1105	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) )
38		difssd 3738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> ( B \ { x } ) C_ B )
39		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
40		neldifsn 4321	. . . . . . . . . 10 |- -. x e. ( B \ { x } )
41		nelne1 2890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ -. x e. ( B \ { x } ) ) -> B =/= ( B \ { x } ) )
42	39, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> B =/= ( B \ { x } ) )
43	42	necomd 2849	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> ( B \ { x } ) =/= B )
44		df-pss 3590	. . . . . . . 8 |- ( ( B \ { x } ) C. B <-> ( ( B \ { x } ) C_ B /\ ( B \ { x } ) =/= B ) )
45	38, 43, 44	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> ( B \ { x } ) C. B )
46		psseq1 3694	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( B \ { x } ) -> ( s C. B <-> ( B \ { x } ) C. B ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( B \ { x } ) -> ( N ` s ) = ( N ` ( B \ { x } ) ) )
48	47	psseq1d 3699	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( B \ { x } ) -> ( ( N ` s ) C. V <-> ( N ` ( B \ { x } ) ) C. V ) )
49	46, 48	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( s = ( B \ { x } ) -> ( ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) <-> ( ( B \ { x } ) C. B -> ( N ` ( B \ { x } ) ) C. V ) ) )
50	49	spcgv 3293	. . . . . . 7 |- ( ( B \ { x } ) e. _V -> ( A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) -> ( ( B \ { x } ) C. B -> ( N ` ( B \ { x } ) ) C. V ) ) )
51	36, 37, 45, 50	syl3c 66	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> ( N ` ( B \ { x } ) ) C. V )
52		dfpss3 3693	. . . . . . 7 |- ( ( N ` ( B \ { x } ) ) C. V <-> ( ( N ` ( B \ { x } ) ) C_ V /\ -. V C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) ) )
53	52	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( ( N ` ( B \ { x } ) ) C. V -> -. V C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) )
54	51, 53	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> -. V C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) )
55		simplr2 1104	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` B ) = V )
56	8	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> W e. LMod )
57	32	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> ( B \ { x } ) C_ V )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
59	1, 58, 5	lspcl 18976	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( B \ { x } ) C_ V ) -> ( N ` ( B \ { x } ) ) e. ( LSubSp ` W ) )
60	56, 57, 59	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` ( B \ { x } ) ) e. ( LSubSp ` W ) )
61		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- B C_ ( B u. { x } )
62		undif1 4043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B \ { x } ) u. { x } ) = ( B u. { x } )
63	61, 62	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . 9 |- B C_ ( ( B \ { x } ) u. { x } )
64	1, 5	lspssid 18985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ ( B \ { x } ) C_ V ) -> ( B \ { x } ) C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) )
65	56, 57, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> ( B \ { x } ) C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) )
66		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) )
67	66	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> { x } C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) )
68	65, 67	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> ( ( B \ { x } ) u. { x } ) C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) )
69	63, 68	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> B C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) )
70	58, 5	lspssp 18988	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( B \ { x } ) ) e. ( LSubSp ` W ) /\ B C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) ) -> ( N ` B ) C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) )
71	56, 60, 69, 70	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` B ) C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) )
72	55, 71	eqsstr3d 3640	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ ( x e. B /\ x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) -> V C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) )
73	72	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) -> V C_ ( N ` ( B \ { x } ) ) ) )
74	54, 73	mtod 189	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) /\ x e. B ) -> -. x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) )
75	74	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) -> A. x e. B -. x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) )
76	1, 2, 5	islbs2 19154	. . . 4 |- ( W e. LVec -> ( B e. J <-> ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. x e. B -. x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) )
77	76	adantr 481	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) -> ( B e. J <-> ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. x e. B -. x e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) )
78	29, 30, 75, 77	mpbir3and 1245	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) -> B e. J )
79	28, 78	impbida 877	1 |- ( W e. LVec -> ( B e. J <-> ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. s ( s C. B -> ( N ` s ) C. V ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   C. wpss 3575   {csn 4177   ` cfv 5888   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   0gc0g 16100   1rcur 18501   DivRingcdr 18747   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LBasisclbs 19074   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lbs 19075  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  obslbs  20074