Theorem isldepslvec2 42274

Description: Alternative definition of being a linearly dependent subset of a (left) vector space. In this case, the reverse implication of islindeps2 42272 holds, so that both definitions are equivalent (see theorem 1.6 in [Roman] p. 46 and the note in [Roman] p. 112: if a nontrivial linear combination of elements (where not all of the coefficients are 0) in an R-vector space is 0, then and only then each of the elements is a linear combination of the others. (Contributed by AV, 30-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	|- B = ( Base ` M )
islindeps2.z	|- Z = ( 0g ` M )
islindeps2.r	|- R = (Scalar ` M )
islindeps2.e	|- E = ( Base ` R )
islindeps2.0	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
isldepslvec2	|- ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) -> ( E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> S linDepS M ) )

Distinct variable groups:   B, f, s   f, E, s   f, M, s   R, f, s   S, f, s   f, Z, s   .0. , f, s

Proof of Theorem isldepslvec2

Dummy variables g z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 19106	. . . 4 |- ( M e. LVec -> M e. LMod )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) -> M e. LMod )
3		simpr 477	. . 3 |- ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) -> S e. ~P B )
4		islindeps2.r	. . . . . 6 |- R = (Scalar ` M )
5	4	lvecdrng 19105	. . . . 5 |- ( M e. LVec -> R e. DivRing )
6		drngnzr 19262	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> R e. NzRing )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( M e. LVec -> R e. NzRing )
8	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) -> R e. NzRing )
9		islindeps2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
10		islindeps2.z	. . . 4 |- Z = ( 0g ` M )
11		islindeps2.e	. . . 4 |- E = ( Base ` R )
12		islindeps2.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
13	9, 10, 4, 11, 12	islindeps2 42272	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) -> S linDepS M ) )
14	2, 3, 8, 13	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) -> ( E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) -> S linDepS M ) )
15	9, 10, 4, 11, 12	islindeps 42242	. . 3 |- ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) -> ( S linDepS M <-> E. g e. ( E ^m S ) ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z /\ E. s e. S ( g ` s ) =/= .0. ) ) )
16		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z /\ E. s e. S ( g ` s ) =/= .0. ) <-> ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ E. s e. S ( g ` s ) =/= .0. ) )
17		r19.42v 3092	. . . . . . 7 |- ( E. s e. S ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) <-> ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ E. s e. S ( g ` s ) =/= .0. ) )
18	16, 17	bitr4i 267	. . . . . 6 |- ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z /\ E. s e. S ( g ` s ) =/= .0. ) <-> E. s e. S ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) )
19	18	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. g e. ( E ^m S ) ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z /\ E. s e. S ( g ` s ) =/= .0. ) <-> E. g e. ( E ^m S ) E. s e. S ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) )
20		rexcom 3099	. . . . 5 |- ( E. g e. ( E ^m S ) E. s e. S ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) <-> E. s e. S E. g e. ( E ^m S ) ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) )
21	19, 20	bitri 264	. . . 4 |- ( E. g e. ( E ^m S ) ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z /\ E. s e. S ( g ` s ) =/= .0. ) <-> E. s e. S E. g e. ( E ^m S ) ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) )
22		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) -> S e. ~P B )
23	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) -> M e. LMod )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) -> s e. S )
25	22, 23, 24	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ s e. S ) )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ s e. S ) )
27		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> g e. ( E ^m S ) )
28		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( E ^m S ) -> g : S --> E )
29		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g : S --> E /\ s e. S ) -> ( g ` s ) e. E )
30	28, 24, 29	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) -> ( g ` s ) e. E )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) -> ( g ` s ) =/= .0. )
32	30, 31	anim12i 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( ( g ` s ) e. E /\ ( g ` s ) =/= .0. ) )
33	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) -> R e. DivRing )
34	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> R e. DivRing )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
36	11, 35, 12	drngunit 18752	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. DivRing -> ( ( g ` s ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( g ` s ) e. E /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) )
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( ( g ` s ) e. (Unit ` R ) <-> ( ( g ` s ) e. E /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) )
38	32, 37	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( g ` s ) e. (Unit ` R ) )
39		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) -> g finSupp .0. )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> g finSupp .0. )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
42		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
44		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) = ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) )
45	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44	lincresunit2 42267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ s e. S ) /\ ( g e. ( E ^m S ) /\ ( g ` s ) e. (Unit ` R ) /\ g finSupp .0. ) ) -> ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) finSupp .0. )
46	26, 27, 38, 40, 45	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) finSupp .0. )
47		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) -> M e. LVec )
48	22, 47, 24	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LVec /\ s e. S ) )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LVec /\ s e. S ) )
50		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( g ` s ) =/= .0. )
51		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) -> ( g ( linC ` M ) S ) = Z )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( g ( linC ` M ) S ) = Z )
53		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( g ` z ) = ( g ` y ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` y ) ) )
55	54	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) = ( y e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` y ) ) )
56	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 55	lincreslvec3 42271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LVec /\ s e. S ) /\ ( g e. ( E ^m S ) /\ ( g ` s ) =/= .0. /\ g finSupp .0. ) /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s )
57	49, 27, 50, 40, 52, 56	syl131anc 1339	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s )
58	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44	lincresunit1 42266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ s e. S ) /\ ( g e. ( E ^m S ) /\ ( g ` s ) e. (Unit ` R ) ) ) -> ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) )
59	26, 27, 38, 58	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) )
60		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) -> ( f finSupp .0. <-> ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) finSupp .0. ) )
61		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) -> ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = ( ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) )
62	61	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) -> ( ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s <-> ( ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) )
63	60, 62	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> ( ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) finSupp .0. /\ ( ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) /\ f = ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> ( ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) finSupp .0. /\ ( ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) ) )
65	59, 64	rspcedv 3313	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> ( ( ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) finSupp .0. /\ ( ( z e. ( S \ { s } ) |-> ( ( ( invr ` R ) ` ( ( invg ` R ) ` ( g ` s ) ) ) ( .r ` R ) ( g ` z ) ) ) ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) -> E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) ) )
66	46, 57, 65	mp2and 715	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) /\ ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) ) -> E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) )
67	66	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) /\ g e. ( E ^m S ) ) -> ( ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) -> E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) ) )
68	67	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) /\ s e. S ) -> ( E. g e. ( E ^m S ) ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) -> E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) ) )
69	68	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) -> ( E. s e. S E. g e. ( E ^m S ) ( ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ ( g ` s ) =/= .0. ) -> E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) ) )
70	21, 69	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) -> ( E. g e. ( E ^m S ) ( g finSupp .0. /\ ( g ( linC ` M ) S ) = Z /\ E. s e. S ( g ` s ) =/= .0. ) -> E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) ) )
71	15, 70	sylbid 230	. 2 |- ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) -> ( S linDepS M -> E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) ) )
72	14, 71	impbid 202	1 |- ( ( M e. LVec /\ S e. ~P B ) -> ( E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> S linDepS M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   0gc0g 16100   invgcminusg 17423  Unitcui 18639   invrcinvr 18671   DivRingcdr 18747   LModclmod 18863   LVecclvec 19102  NzRingcnzr 19257   linC clinc 42193   linDepS clindeps 42230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-nzr 19258  df-linc 42195  df-lininds 42231  df-lindeps 42233

This theorem is referenced by:  ldepslinc  42298