Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | tchcph.1 |
. . . 4
|
2 | | tchval.n |
. . . . 5
toCHil |
3 | 2 | tchphl 23026 |
. . . 4
|
4 | 1, 3 | sylib 208 |
. . 3
|
5 | | tchcph.v |
. . . . . . 7
|
6 | | tchcph.h |
. . . . . . 7
|
7 | 2, 5, 6 | tchval 23017 |
. . . . . 6
toNrmGrp
|
8 | | eqid 2622 |
. . . . . 6
|
9 | | eqid 2622 |
. . . . . 6
|
10 | | phllmod 19975 |
. . . . . . . 8
|
11 | 1, 10 | syl 17 |
. . . . . . 7
|
12 | | lmodgrp 18870 |
. . . . . . 7
|
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . 6
|
14 | | tchcph.f |
. . . . . . . . 9
Scalar |
15 | | tchcph.2 |
. . . . . . . . 9
ℂfld
↾s |
16 | 2, 5, 14, 1, 15, 6 | tchcphlem3 23032 |
. . . . . . . 8
|
17 | | tchcph.4 |
. . . . . . . 8
|
18 | 16, 17 | resqrtcld 14156 |
. . . . . . 7
|
19 | | eqid 2622 |
. . . . . . 7
|
20 | 18, 19 | fmptd 6385 |
. . . . . 6
|
21 | | oveq12 6659 |
. . . . . . . . . . . 12
|
22 | 21 | anidms 677 |
. . . . . . . . . . 11
|
23 | 22 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . 10
|
24 | | fvex 6201 |
. . . . . . . . . 10
|
25 | 23, 19, 24 | fvmpt3i 6287 |
. . . . . . . . 9
|
26 | 25 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
|
27 | 26 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . 7
|
28 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
29 | | phllvec 19974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
30 | 1, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
31 | 14 | lvecdrng 19105 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
32 | 30, 31 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
33 | 28, 15, 32 | cphsubrglem 22977 |
. . . . . . . . . . . . . 14
ℂfld ↾s SubRingℂfld |
34 | 33 | simp2d 1074 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
35 | | inss2 3834 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
36 | 34, 35 | syl6eqss 3655 |
. . . . . . . . . . . 12
|
37 | 36 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
|
38 | 14, 6, 5, 28 | ipcl 19978 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
39 | 38 | 3anidm23 1385 |
. . . . . . . . . . . 12
|
40 | 1, 39 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . 11
|
41 | 37, 40 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . 10
|
42 | 41 | sqrtcld 14176 |
. . . . . . . . 9
|
43 | | sqeq0 12927 |
. . . . . . . . 9
|
44 | 42, 43 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
45 | 41 | sqsqrtd 14178 |
. . . . . . . . 9
|
46 | 2, 5, 14, 1, 15 | tchclm 23031 |
. . . . . . . . . . 11
CMod |
47 | 14 | clm0 22872 |
. . . . . . . . . . 11
CMod |
48 | 46, 47 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
|
49 | 48 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
|
50 | 45, 49 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . 8
|
51 | 44, 50 | bitr3d 270 |
. . . . . . 7
|
52 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . 9
|
53 | 14, 6, 5, 52, 9 | ipeq0 19983 |
. . . . . . . 8
|
54 | 1, 53 | sylan 488 |
. . . . . . 7
|
55 | 27, 51, 54 | 3bitrd 294 |
. . . . . 6
|
56 | 1 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
|
57 | 33 | simp1d 1073 |
. . . . . . . . 9
ℂfld
↾s |
58 | 57 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
ℂfld
↾s |
59 | | 3anass 1042 |
. . . . . . . . . . 11
|
60 | | tchcph.3 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
61 | | simpr2 1068 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
62 | 61 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
63 | 62 | sqrtcld 14176 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
64 | 60, 63 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
65 | 64 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . 12
|
66 | 34 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
67 | | recn 10026 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
68 | | elin 3796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
69 | 68 | rbaib 947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
70 | 67, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
71 | 66, 70 | sylan9bb 736 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
72 | 71 | adantrr 753 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
73 | 72 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
74 | 73 | pm5.32rd 672 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
75 | | 3anass 1042 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
76 | 74, 75 | syl6bbr 278 |
. . . . . . . . . . . 12
|
77 | 34 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
78 | | elin 3796 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
79 | 77, 78 | syl6bb 276 |
. . . . . . . . . . . 12
|
80 | 65, 76, 79 | 3imtr4d 283 |
. . . . . . . . . . 11
|
81 | 59, 80 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . . 10
|
82 | 81 | imp 445 |
. . . . . . . . 9
|
83 | 82 | adantlr 751 |
. . . . . . . 8
|
84 | 17 | adantlr 751 |
. . . . . . . 8
|
85 | | simprl 794 |
. . . . . . . 8
|
86 | | simprr 796 |
. . . . . . . 8
|
87 | 2, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86 | tchcphlem1 23034 |
. . . . . . 7
|
88 | 5, 8 | grpsubcl 17495 |
. . . . . . . . . 10
|
89 | 88 | 3expb 1266 |
. . . . . . . . 9
|
90 | 13, 89 | sylan 488 |
. . . . . . . 8
|
91 | | oveq12 6659 |
. . . . . . . . . . 11
|
92 | 91 | anidms 677 |
. . . . . . . . . 10
|
93 | 92 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . 9
|
94 | 93, 19, 24 | fvmpt3i 6287 |
. . . . . . . 8
|
95 | 90, 94 | syl 17 |
. . . . . . 7
|
96 | | oveq12 6659 |
. . . . . . . . . . . 12
|
97 | 96 | anidms 677 |
. . . . . . . . . . 11
|
98 | 97 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . 10
|
99 | 98, 19, 24 | fvmpt3i 6287 |
. . . . . . . . 9
|
100 | 25, 99 | oveqan12d 6669 |
. . . . . . . 8
|
101 | 100 | adantl 482 |
. . . . . . 7
|
102 | 87, 95, 101 | 3brtr4d 4685 |
. . . . . 6
|
103 | 7, 5, 8, 9, 13, 20, 55, 102 | tngngpd 22457 |
. . . . 5
NrmGrp |
104 | | phllmod 19975 |
. . . . . 6
|
105 | 4, 104 | syl 17 |
. . . . 5
|
106 | | cnnrg 22584 |
. . . . . . 7
ℂfld NrmRing |
107 | 33 | simp3d 1075 |
. . . . . . 7
SubRingℂfld |
108 | | eqid 2622 |
. . . . . . . 8
ℂfld
↾s ℂfld ↾s |
109 | 108 | subrgnrg 22477 |
. . . . . . 7
ℂfld NrmRing SubRingℂfld ℂfld ↾s
NrmRing |
110 | 106, 107,
109 | sylancr 695 |
. . . . . 6
ℂfld ↾s
NrmRing |
111 | 57, 110 | eqeltrd 2701 |
. . . . 5
NrmRing |
112 | 103, 105,
111 | 3jca 1242 |
. . . 4
NrmGrp
NrmRing |
113 | 1 | adantr 481 |
. . . . . . 7
|
114 | 57 | adantr 481 |
. . . . . . 7
ℂfld
↾s |
115 | 82 | adantlr 751 |
. . . . . . 7
|
116 | 17 | adantlr 751 |
. . . . . . 7
|
117 | | eqid 2622 |
. . . . . . 7
|
118 | | simprl 794 |
. . . . . . 7
|
119 | | simprr 796 |
. . . . . . 7
|
120 | 2, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119 | tchcphlem2 23035 |
. . . . . 6
|
121 | 13 | adantr 481 |
. . . . . . 7
|
122 | 5, 14, 117, 28 | lmodvscl 18880 |
. . . . . . . . 9
|
123 | 122 | 3expb 1266 |
. . . . . . . 8
|
124 | 11, 123 | sylan 488 |
. . . . . . 7
|
125 | | eqid 2622 |
. . . . . . . 8
|
126 | 2, 125, 5, 6 | tchnmval 23028 |
. . . . . . 7
|
127 | 121, 124,
126 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
|
128 | 114 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . 9
ℂfld ↾s
|
129 | 128 | fveq1d 6193 |
. . . . . . . 8
ℂfld ↾s |
130 | | subrgsubg 18786 |
. . . . . . . . . . 11
SubRingℂfld
SubGrpℂfld |
131 | 107, 130 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
SubGrpℂfld |
132 | 131 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
SubGrpℂfld |
133 | | cnfldnm 22582 |
. . . . . . . . . 10
ℂfld |
134 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . 10
ℂfld ↾s ℂfld
↾s |
135 | 108, 133,
134 | subgnm2 22438 |
. . . . . . . . 9
SubGrpℂfld
ℂfld ↾s |
136 | 132, 118,
135 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
ℂfld ↾s
|
137 | 129, 136 | eqtrd 2656 |
. . . . . . 7
|
138 | 2, 125, 5, 6 | tchnmval 23028 |
. . . . . . . 8
|
139 | 121, 119,
138 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
|
140 | 137, 139 | oveq12d 6668 |
. . . . . 6
|
141 | 120, 127,
140 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . 5
|
142 | 141 | ralrimivva 2971 |
. . . 4
|
143 | 2, 5 | tchbas 23018 |
. . . . 5
|
144 | 2, 117 | tchvsca 23023 |
. . . . 5
|
145 | 2, 14 | tchsca 23022 |
. . . . 5
Scalar |
146 | | eqid 2622 |
. . . . 5
|
147 | 143, 125,
144, 145, 28, 146 | isnlm 22479 |
. . . 4
NrmMod NrmGrp
NrmRing
|
148 | 112, 142,
147 | sylanbrc 698 |
. . 3
NrmMod |
149 | 4, 148, 57 | 3jca 1242 |
. 2
NrmMod
ℂfld ↾s |
150 | | elin 3796 |
. . . . . 6
|
151 | | elrege0 12278 |
. . . . . . 7
|
152 | 151 | anbi2i 730 |
. . . . . 6
|
153 | 150, 152 | bitri 264 |
. . . . 5
|
154 | 153, 80 | syl5bi 232 |
. . . 4
|
155 | 154 | ralrimiv 2965 |
. . 3
|
156 | | sqrtf 14103 |
. . . . 5
|
157 | | ffun 6048 |
. . . . 5
|
158 | 156, 157 | ax-mp 5 |
. . . 4
|
159 | | inss1 3833 |
. . . . . 6
|
160 | 159, 36 | syl5ss 3614 |
. . . . 5
|
161 | 156 | fdmi 6052 |
. . . . 5
|
162 | 160, 161 | syl6sseqr 3652 |
. . . 4
|
163 | | funimass4 6247 |
. . . 4
|
164 | 158, 162,
163 | sylancr 695 |
. . 3
|
165 | 155, 164 | mpbird 247 |
. 2
|
166 | | eqid 2622 |
. . . . 5
|
167 | 42, 166 | fmptd 6385 |
. . . 4
|
168 | 2, 5, 6 | tchval 23017 |
. . . . 5
toNrmGrp
|
169 | | cnex 10017 |
. . . . 5
|
170 | 168, 5, 169 | tngnm 22455 |
. . . 4
|
171 | 13, 167, 170 | syl2anc 693 |
. . 3
|
172 | 171 | eqcomd 2628 |
. 2
|
173 | 2, 6 | tchip 23024 |
. . 3
|
174 | 143, 173,
125, 145, 28 | iscph 22970 |
. 2
NrmMod ℂfld ↾s
|
175 | 149, 165,
172, 174 | syl3anbrc 1246 |
1
|