Theorem tchcph 23036

Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a quadratically closed subfield of ℂ_fld into a subcomplex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tchval.n	|- G = (toCHil ` W )
tchcph.v	|- V = ( Base ` W )
tchcph.f	|- F = (Scalar ` W )
tchcph.1	|- ( ph -> W e. PreHil )
tchcph.2	|- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
tchcph.h	|- ., = ( .i ` W )
tchcph.3	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
tchcph.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )

Assertion

Ref	Expression
tchcph	|- ( ph -> G e. CPreHil )

Distinct variable groups:   x, .,   x, F   x, G   x, V   ph, x   x, W

Allowed substitution hint:   K( x)

Proof of Theorem tchcph

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tchcph.1	. . . 4 |- ( ph -> W e. PreHil )
2		tchval.n	. . . . 5 |- G = (toCHil ` W )
3	2	tchphl 23026	. . . 4 |- ( W e. PreHil <-> G e. PreHil )
4	1, 3	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> G e. PreHil )
5		tchcph.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
6		tchcph.h	. . . . . . 7 |- ., = ( .i ` W )
7	2, 5, 6	tchval 23017	. . . . . 6 |- G = ( W toNrmGrp ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
10		phllmod 19975	. . . . . . . 8 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
12		lmodgrp 18870	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Grp )
14		tchcph.f	. . . . . . . . 9 |- F = (Scalar ` W )
15		tchcph.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
16	2, 5, 14, 1, 15, 6	tchcphlem3 23032	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( x ., x ) e. RR )
17		tchcph.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
18	16, 17	resqrtcld 14156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( sqr ` ( x ., x ) ) e. RR )
19		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) = ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) )
20	18, 19	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) : V --> RR )
21		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = y /\ x = y ) -> ( x ., x ) = ( y ., y ) )
22	21	anidms 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x ., x ) = ( y ., y ) )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
24		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( sqr ` ( x ., x ) ) e. _V
25	23, 19, 24	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . 9 |- ( y e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = ( sqr ` ( y ., y ) ) )
27	26	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
29		phllvec 19974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. PreHil -> W e. LVec )
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W e. LVec )
31	14	lvecdrng 19105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. LVec -> F e. DivRing )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. DivRing )
33	28, 15, 32	cphsubrglem 22977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) /\ ( Base ` F ) = ( K i^i CC ) /\ ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) )
34	33	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( K i^i CC ) )
35		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K i^i CC ) C_ CC
36	34, 35	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` F ) C_ CC )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( Base ` F ) C_ CC )
38	14, 6, 5, 28	ipcl 19978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
39	38	3anidm23 1385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
40	1, 39	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. ( Base ` F ) )
41	37, 40	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( y ., y ) e. CC )
42	41	sqrtcld 14176	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( sqr ` ( y ., y ) ) e. CC )
43		sqeq0 12927	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( y ., y ) ) e. CC -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 ) )
45	41	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = ( y ., y ) )
46	2, 5, 14, 1, 15	tchclm 23031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. CMod )
47	14	clm0 22872	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. CMod -> 0 = ( 0g ` F ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 = ( 0g ` F ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> 0 = ( 0g ` F ) )
50	45, 49	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( sqr ` ( y ., y ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( y ., y ) = ( 0g ` F ) ) )
51	44, 50	bitr3d 270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( sqr ` ( y ., y ) ) = 0 <-> ( y ., y ) = ( 0g ` F ) ) )
52		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
53	14, 6, 5, 52, 9	ipeq0 19983	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. PreHil /\ y e. V ) -> ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) <-> y = ( 0g ` W ) ) )
54	1, 53	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) <-> y = ( 0g ` W ) ) )
55	27, 51, 54	3bitrd 294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) = 0 <-> y = ( 0g ` W ) ) )
56	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> W e. PreHil )
57	33	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
58	57	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
59		3anass 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
60		tchcph.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
61		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> x e. RR )
62	61	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> x e. CC )
63	62	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
64	60, 63	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) )
65	64	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) ) )
66	34	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. ( K i^i CC ) ) )
67		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> x e. CC )
68		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( K i^i CC ) <-> ( x e. K /\ x e. CC ) )
69	68	rbaib 947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x e. ( K i^i CC ) <-> x e. K ) )
70	67, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( x e. ( K i^i CC ) <-> x e. K ) )
71	66, 70	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) )
72	71	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) )
73	72	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( x e. ( Base ` F ) <-> x e. K ) ) )
74	73	pm5.32rd 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) <-> ( x e. K /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) ) )
75		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) <-> ( x e. K /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
76	74, 75	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) <-> ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
77	34	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) <-> ( sqr ` x ) e. ( K i^i CC ) ) )
78		elin 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sqr ` x ) e. ( K i^i CC ) <-> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) )
79	77, 78	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) <-> ( ( sqr ` x ) e. K /\ ( sqr ` x ) e. CC ) ) )
80	65, 76, 79	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
81	59, 80	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
82	81	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
83	82	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
84	17	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
85		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. V )
86		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
87	2, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86	tchcphlem1 23034	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) <_ ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
88	5, 8	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Grp /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
89	88	3expb 1266	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
90	13, 89	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y ( -g ` W ) z ) e. V )
91		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( y ( -g ` W ) z ) /\ x = ( y ( -g ` W ) z ) ) -> ( x ., x ) = ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) )
92	91	anidms 677	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ( -g ` W ) z ) -> ( x ., x ) = ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) )
93	92	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ( -g ` W ) z ) -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
94	93, 19, 24	fvmpt3i 6287	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( -g ` W ) z ) e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
95	90, 94	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( -g ` W ) z ) ., ( y ( -g ` W ) z ) ) ) )
96		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = z /\ x = z ) -> ( x ., x ) = ( z ., z ) )
97	96	anidms 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x ., x ) = ( z ., z ) )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( sqr ` ( x ., x ) ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
99	98, 19, 24	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . 9 |- ( z e. V -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
100	25, 99	oveqan12d 6669	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. V /\ z e. V ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) = ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
101	100	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) = ( ( sqr ` ( y ., y ) ) + ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
102	87, 95, 101	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` ( y ( -g ` W ) z ) ) <_ ( ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` y ) + ( ( x e. V |-> ( sqr ` ( x ., x ) ) ) ` z ) ) )
103	7, 5, 8, 9, 13, 20, 55, 102	tngngpd 22457	. . . . 5 |- ( ph -> G e. NrmGrp )
104		phllmod 19975	. . . . . 6 |- ( G e. PreHil -> G e. LMod )
105	4, 104	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> G e. LMod )
106		cnnrg 22584	. . . . . . 7 |- ℂfld e. NrmRing
107	33	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) )
108		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) )
109	108	subrgnrg 22477	. . . . . . 7 |- ( (ℂfld e. NrmRing /\ ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) e. NrmRing )
110	106, 107, 109	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) e. NrmRing )
111	57, 110	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> F e. NrmRing )
112	103, 105, 111	3jca 1242	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. NrmGrp /\ G e. LMod /\ F e. NrmRing ) )
113	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> W e. PreHil )
114	57	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
115	82	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) /\ ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
116	17	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
117		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
118		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> y e. ( Base ` F ) )
119		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> z e. V )
120	2, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119	tchcphlem2 23035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
121	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> W e. Grp )
122	5, 14, 117, 28	lmodvscl 18880	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
123	122	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
124	11, 123	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( y ( .s ` W ) z ) e. V )
125		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( norm ` G ) = ( norm ` G )
126	2, 125, 5, 6	tchnmval 23028	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Grp /\ ( y ( .s ` W ) z ) e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) )
127	121, 124, 126	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( sqr ` ( ( y ( .s ` W ) z ) ., ( y ( .s ` W ) z ) ) ) )
128	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( norm ` F ) = ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) )
129	128	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` F ) ` y ) = ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) )
130		subrgsubg 18786	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base ` F ) e. (SubRing ` ℂfld ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
131	107, 130	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) )
133		cnfldnm 22582	. . . . . . . . . 10 |- abs = ( norm ` ℂfld )
134		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) = ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) )
135	108, 133, 134	subgnm2 22438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Base ` F ) e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ y e. ( Base ` F ) ) -> ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) = ( abs ` y ) )
136	132, 118, 135	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) ` y ) = ( abs ` y ) )
137	129, 136	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` F ) ` y ) = ( abs ` y ) )
138	2, 125, 5, 6	tchnmval 23028	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Grp /\ z e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
139	121, 119, 138	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` z ) = ( sqr ` ( z ., z ) ) )
140	137, 139	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( sqr ` ( z ., z ) ) ) )
141	120, 127, 140	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( Base ` F ) /\ z e. V ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) )
142	141	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. ( Base ` F ) A. z e. V ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) )
143	2, 5	tchbas 23018	. . . . 5 |- V = ( Base ` G )
144	2, 117	tchvsca 23023	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` G )
145	2, 14	tchsca 23022	. . . . 5 |- F = (Scalar ` G )
146		eqid 2622	. . . . 5 |- ( norm ` F ) = ( norm ` F )
147	143, 125, 144, 145, 28, 146	isnlm 22479	. . . 4 |- ( G e. NrmMod <-> ( ( G e. NrmGrp /\ G e. LMod /\ F e. NrmRing ) /\ A. y e. ( Base ` F ) A. z e. V ( ( norm ` G ) ` ( y ( .s ` W ) z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` y ) x. ( ( norm ` G ) ` z ) ) ) )
148	112, 142, 147	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> G e. NrmMod )
149	4, 148, 57	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( G e. PreHil /\ G e. NrmMod /\ F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) )
150		elin 3796	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) )
151		elrege0 12278	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
152	151	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( Base ` F ) /\ x e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
153	150, 152	bitri 264	. . . . 5 |- ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( x e. ( Base ` F ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) )
154	153, 80	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) -> ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
155	154	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) )
156		sqrtf 14103	. . . . 5 |- sqr : CC --> CC
157		ffun 6048	. . . . 5 |- ( sqr : CC --> CC -> Fun sqr )
158	156, 157	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun sqr
159		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ ( Base ` F )
160	159, 36	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ CC )
161	156	fdmi 6052	. . . . 5 |- dom sqr = CC
162	160, 161	syl6sseqr 3652	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ dom sqr )
163		funimass4 6247	. . . 4 |- ( ( Fun sqr /\ ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) C_ dom sqr ) -> ( ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) <-> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
164	158, 162, 163	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) <-> A. x e. ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ( sqr ` x ) e. ( Base ` F ) ) )
165	155, 164	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) )
166		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) )
167	42, 166	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) : V --> CC )
168	2, 5, 6	tchval 23017	. . . . 5 |- G = ( W toNrmGrp ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) )
169		cnex 10017	. . . . 5 |- CC e. _V
170	168, 5, 169	tngnm 22455	. . . 4 |- ( ( W e. Grp /\ ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) : V --> CC ) -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( norm ` G ) )
171	13, 167, 170	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) = ( norm ` G ) )
172	171	eqcomd 2628	. 2 |- ( ph -> ( norm ` G ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) )
173	2, 6	tchip 23024	. . 3 |- ., = ( .i ` G )
174	143, 173, 125, 145, 28	iscph 22970	. 2 |- ( G e. CPreHil <-> ( ( G e. PreHil /\ G e. NrmMod /\ F = (ℂfld ↾s ( Base ` F ) ) ) /\ ( sqr " ( ( Base ` F ) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) C_ ( Base ` F ) /\ ( norm ` G ) = ( y e. V |-> ( sqr ` ( y ., y ) ) ) ) )
175	149, 165, 172, 174	syl3anbrc 1246	1 |- ( ph -> G e. CPreHil )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   2c2 11070   [,)cico 12177   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   .icip 15946   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   DivRingcdr 18747  SubRingcsubrg 18776   LModclmod 18863   LVecclvec 19102  ℂ_fldccnfld 19746   PreHilcphl 19969   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmRingcnrg 22384  NrmModcnlm 22385  CModcclm 22862   CPreHilccph 22966  toCHilctch 22967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968  df-tch 22969

This theorem is referenced by:  rrxcph  23180