Theorem lclkrlem2m 36808

Description: Lemma for lclkr 36822. Construct a vector B that makes the sum of functionals zero. Combine with B e. V to shorten overall proof. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	|- V = ( Base ` U )
lclkrlem2m.t	|- .x. = ( .s ` U )
lclkrlem2m.s	|- S = (Scalar ` U )
lclkrlem2m.q	|- .X. = ( .r ` S )
lclkrlem2m.z	|- .0. = ( 0g ` S )
lclkrlem2m.i	|- I = ( invr ` S )
lclkrlem2m.m	|- .- = ( -g ` U )
lclkrlem2m.f	|- F = (LFnl ` U )
lclkrlem2m.d	|- D = (LDual ` U )
lclkrlem2m.p	|- .+ = ( +g ` D )
lclkrlem2m.x	|- ( ph -> X e. V )
lclkrlem2m.y	|- ( ph -> Y e. V )
lclkrlem2m.e	|- ( ph -> E e. F )
lclkrlem2m.g	|- ( ph -> G e. F )
lclkrlem2m.w	|- ( ph -> U e. LVec )
lclkrlem2m.b	|- B = ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) )
lclkrlem2m.n	|- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2m	|- ( ph -> ( B e. V /\ ( ( E .+ G ) ` B ) = .0. ) )

Proof of Theorem lclkrlem2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.b	. . 3 |- B = ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) )
2		lclkrlem2m.w	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. LVec )
3		lveclmod 19106	. . . . . 6 |- ( U e. LVec -> U e. LMod )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
5		lmodgrp 18870	. . . . 5 |- ( U e. LMod -> U e. Grp )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U e. Grp )
7		lclkrlem2m.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
8		lclkrlem2m.s	. . . . . . . 8 |- S = (Scalar ` U )
9	8	lmodring 18871	. . . . . . 7 |- ( U e. LMod -> S e. Ring )
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. Ring )
11		lclkrlem2m.f	. . . . . . . 8 |- F = (LFnl ` U )
12		lclkrlem2m.d	. . . . . . . 8 |- D = (LDual ` U )
13		lclkrlem2m.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` D )
14		lclkrlem2m.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. F )
15		lclkrlem2m.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. F )
16	11, 12, 13, 4, 14, 15	ldualvaddcl 34417	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E .+ G ) e. F )
17		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
18		lclkrlem2m.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` U )
19	8, 17, 18, 11	lflcl 34351	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LVec /\ ( E .+ G ) e. F /\ X e. V ) -> ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) )
20	2, 16, 7, 19	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) )
21	8	lvecdrng 19105	. . . . . . . 8 |- ( U e. LVec -> S e. DivRing )
22	2, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. DivRing )
23		lclkrlem2m.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. V )
24	8, 17, 18, 11	lflcl 34351	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. LVec /\ ( E .+ G ) e. F /\ Y e. V ) -> ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) )
25	2, 16, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) )
26		lclkrlem2m.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )
27		lclkrlem2m.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` S )
28		lclkrlem2m.i	. . . . . . . 8 |- I = ( invr ` S )
29	17, 27, 28	drnginvrcl 18764	. . . . . . 7 |- ( ( S e. DivRing /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. ) -> ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) )
30	22, 25, 26, 29	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) )
31		lclkrlem2m.q	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` S )
32	17, 31	ringcl 18561	. . . . . 6 |- ( ( S e. Ring /\ ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) /\ ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) )
33	10, 20, 30, 32	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) )
34		lclkrlem2m.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` U )
35	18, 8, 34, 17	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( U e. LMod /\ ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) /\ Y e. V ) -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V )
36	4, 33, 23, 35	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V )
37		lclkrlem2m.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` U )
38	18, 37	grpsubcl 17495	. . . 4 |- ( ( U e. Grp /\ X e. V /\ ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V ) -> ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) e. V )
39	6, 7, 36, 38	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) e. V )
40	1, 39	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> B e. V )
41	1	fveq2i 6194	. . 3 |- ( ( E .+ G ) ` B ) = ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) )
42		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -g ` S ) = ( -g ` S )
43	8, 42, 18, 37, 11	lflsub 34354	. . . . 5 |- ( ( U e. LMod /\ ( E .+ G ) e. F /\ ( X e. V /\ ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) e. V ) ) -> ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) )
44	4, 16, 7, 36, 43	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) )
45	8, 17, 31, 18, 34, 11	lflmul 34355	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LMod /\ ( E .+ G ) e. F /\ ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) e. ( Base ` S ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) )
46	4, 16, 33, 23, 45	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) )
47	17, 31	ringass 18564	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Ring /\ ( ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) /\ ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) )
48	10, 20, 30, 25, 47	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
50	17, 27, 31, 49, 28	drnginvrl 18766	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. DivRing /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. ) -> ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( 1r ` S ) )
51	22, 25, 26, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( 1r ` S ) )
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) )
53	48, 52	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .X. ( ( E .+ G ) ` Y ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) )
54	17, 31, 49	ringridm 18572	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Ring /\ ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) = ( ( E .+ G ) ` X ) )
55	10, 20, 54	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( 1r ` S ) ) = ( ( E .+ G ) ` X ) )
56	46, 53, 55	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( ( E .+ G ) ` X ) )
57	56	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` X ) ) )
58		ringgrp 18552	. . . . . 6 |- ( S e. Ring -> S e. Grp )
59	10, 58	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Grp )
60	17, 27, 42	grpsubid 17499	. . . . 5 |- ( ( S e. Grp /\ ( ( E .+ G ) ` X ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` X ) ) = .0. )
61	59, 20, 60	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E .+ G ) ` X ) ( -g ` S ) ( ( E .+ G ) ` X ) ) = .0. )
62	44, 57, 61	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) ) = .0. )
63	41, 62	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` B ) = .0. )
64	40, 63	jca 554	1 |- ( ph -> ( B e. V /\ ( ( E .+ G ) ` B ) = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   1rcur 18501   Ringcrg 18547   invrcinvr 18671   DivRingcdr 18747   LModclmod 18863   LVecclvec 19102  LFnlclfn 34344  LDualcld 34410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-lfl 34345  df-ldual 34411

This theorem is referenced by:  lclkrlem2o  36810  lclkrlem2q  36812