Theorem mulge0b 10893

Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0b	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> ( ( A <_ 0 /\ B <_ 0 ) \/ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) ) )

Proof of Theorem mulge0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 509	. . . . 5 |- ( -. ( A <_ 0 /\ B <_ 0 ) <-> ( -. A <_ 0 \/ -. B <_ 0 ) )
2		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
3		ltnle 10117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A <-> -. A <_ 0 ) )
4	2, 3	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( 0 < A <-> -. A <_ 0 ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < A <-> -. A <_ 0 ) )
6		ltnle 10117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
7	2, 6	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
9	5, 8	orbi12d 746	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < A \/ 0 < B ) <-> ( -. A <_ 0 \/ -. B <_ 0 ) ) )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( ( 0 < A \/ 0 < B ) <-> ( -. A <_ 0 \/ -. B <_ 0 ) ) )
11		ltle 10126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
12	2, 11	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
13	12	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> 0 <_ A )
14	13	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> 0 <_ A )
15		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> ( A x. B ) e. RR )
17		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )
18		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> A e. RR )
19		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> 0 < A )
20		divge0 10892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> 0 <_ ( ( A x. B ) / A ) )
21	16, 17, 18, 19, 20	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> 0 <_ ( ( A x. B ) / A ) )
22		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> B e. CC )
23	22	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> B e. CC )
24		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> A e. CC )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> A e. CC )
26		gt0ne0 10493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
27	26	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> A =/= 0 )
28	23, 25, 27	divcan3d 10806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> ( ( A x. B ) / A ) = B )
29	21, 28	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> 0 <_ B )
30	14, 29	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < A ) ) -> ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) )
31	30	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( 0 < A -> ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) )
32	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> ( A x. B ) e. RR )
33		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )
34		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> B e. RR )
35		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> 0 < B )
36		divge0 10892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ ( ( A x. B ) / B ) )
37	32, 33, 34, 35, 36	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ ( ( A x. B ) / B ) )
38	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> A e. CC )
39	22	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> B e. CC )
40		gt0ne0 10493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ 0 < B ) -> B =/= 0 )
41	40	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> B =/= 0 )
42	38, 39, 41	divcan4d 10807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> ( ( A x. B ) / B ) = A )
43	37, 42	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ A )
44		ltle 10126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < B -> 0 <_ B ) )
45	2, 44	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( 0 < B -> 0 <_ B ) )
46	45	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ 0 < B ) -> 0 <_ B )
47	46	ad2ant2l 782	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ B )
48	43, 47	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ ( A x. B ) /\ 0 < B ) ) -> ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) )
49	48	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( 0 < B -> ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) )
50	31, 49	jaod 395	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( ( 0 < A \/ 0 < B ) -> ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) )
51	10, 50	sylbird 250	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( ( -. A <_ 0 \/ -. B <_ 0 ) -> ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) )
52	1, 51	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( -. ( A <_ 0 /\ B <_ 0 ) -> ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) )
53	52	orrd 393	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> ( ( A <_ 0 /\ B <_ 0 ) \/ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) )
54	53	ex 450	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) -> ( ( A <_ 0 /\ B <_ 0 ) \/ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) ) )
55		le0neg1 10536	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
56		le0neg1 10536	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
57	55, 56	bi2anan9 917	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ 0 /\ B <_ 0 ) <-> ( 0 <_ -u A /\ 0 <_ -u B ) ) )
58		renegcl 10344	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
59		renegcl 10344	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
60		mulge0 10546	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) /\ ( -u B e. RR /\ 0 <_ -u B ) ) -> 0 <_ ( -u A x. -u B ) )
61	60	an4s 869	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) /\ ( 0 <_ -u A /\ 0 <_ -u B ) ) -> 0 <_ ( -u A x. -u B ) )
62	61	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> ( ( 0 <_ -u A /\ 0 <_ -u B ) -> 0 <_ ( -u A x. -u B ) ) )
63	58, 59, 62	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ -u A /\ 0 <_ -u B ) -> 0 <_ ( -u A x. -u B ) ) )
64		mul2neg 10469	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. B ) )
65	24, 22, 64	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. B ) )
66	65	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( -u A x. -u B ) <-> 0 <_ ( A x. B ) ) )
67	63, 66	sylibd 229	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ -u A /\ 0 <_ -u B ) -> 0 <_ ( A x. B ) ) )
68	57, 67	sylbid 230	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ 0 /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ ( A x. B ) ) )
69		mulge0 10546	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )
70	69	an4s 869	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )
71	70	ex 450	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ ( A x. B ) ) )
72	68, 71	jaod 395	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A <_ 0 /\ B <_ 0 ) \/ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) ) )
73	54, 72	impbid 202	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> ( ( A <_ 0 /\ B <_ 0 ) \/ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  mulle0b  10894