Theorem divcan3d 10806

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	|- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		divcan3 10711	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( ( B x. A ) / B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> ( ( B x. A ) / B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  prodgt0  10868  mulge0b  10893  ltdivmul  10898  ledivmul  10899  zneo  11460  2tnp1ge0ge0  12630  quoremz  12654  quoremnn0ALT  12656  moddiffl  12681  zesq  12987  discr  13001  bcn1  13100  crre  13854  abslem2  14079  fallfacval4  14774  sinhval  14884  eirrlem  14932  sqrt2irrlem  14977  sqrt2irrlemOLD  14978  ltoddhalfle  15085  flodddiv4  15137  bitsp1e  15154  bitsp1o  15155  iserodd  15540  fldivp1  15601  4sqlem17  15665  gexexlem  18255  abv1z  18832  gzrngunit  19812  cphipval2  23040  ovolunlem1a  23264  itg1mulc  23471  dvrec  23718  elqaalem3  24076  eff1olem  24294  logf1o2  24396  isosctrlem2  24549  heron  24565  dcubic2  24571  mcubic  24574  cubic2  24575  dquartlem1  24578  dquartlem2  24579  dquart  24580  cosasin  24631  efiatan2  24644  tanatan  24646  dvatan  24662  atantayl3  24666  jensen  24715  basellem3  24809  basellem5  24811  basellem8  24814  logfacrlim  24949  perfectlem2  24955  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  2lgslem1c  25118  2lgslem3a  25121  dchrvmasumlem1  25184  mudivsum  25219  vmalogdivsum2  25227  logsqvma  25231  selberglem2  25235  selberglem3  25236  selberg  25237  selbergr  25257  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntsval2  25265  pntpbnd1a  25274  pntibndlem2  25280  axsegconlem9  25805  cdj1i  29292  subfacval2  31169  circum  31568  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem9  32511  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  hashnzfzclim  38521  dmmcand  39528  sumnnodd  39862  sinmulcos  40076  itgsinexp  40170  itgcoscmulx  40185  itgsincmulx  40190  stirlinglem7  40297  dirkertrigeqlem3  40317  dirkeritg  40319  dirkercncflem2  40321  fourierdlem79  40402  fourierdlem83  40406  fourierdlem95  40418  fouriercnp  40443  fourierswlem  40447  etransclem24  40475  etransclem41  40492  sfprmdvdsmersenne  41520  dfodd6  41550  dfeven4  41551  perfectALTVlem2  41631  sinhpcosh  42481