Theorem gt0ne0 10493

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10041	. 2 |- ( A e. RR -> 0 e. RR )
2		ltne 10134	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
3	1, 2	sylan 488	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  recgt0  10867  lemul1  10875  lediv1  10888  gt0div  10889  ge0div  10890  mulge0b  10893  ltdivmul  10898  ledivmul  10899  lt2mul2div  10901  lemuldiv  10903  ltdiv2  10909  ltrec1  10910  lerec2  10911  ledivdiv  10912  lediv2  10913  ltdiv23  10914  lediv23  10915  lediv12a  10916  recreclt  10922  nnrecl  11290  elnnz  11387  recnz  11452  rpne0  11848  divelunit  12314  resqrex  13991  sqrtgt0  13999  argregt0  24356  argimgt0  24358  logneg2  24361  logcnlem3  24390  atanlogsublem  24642  leopmul  28993  cdj1i  29292  lediv2aALT  31571  nndivlub  32457  knoppndvlem15  32517  knoppndvlem17  32519  sineq0ALT  39173