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Theorem nllyrest 21289
Description: An open subspace of an n-locally A space is also n-locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nllyrest |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. 𝑛Locally A )
Proof of Theorem nllyrest
Dummy variables s u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 21276 . . 3 |- ( J e. 𝑛Locally A -> J e. Top )
2 resttop 20964 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
31, 2sylan 488 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
4 restopn2 20981 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
51, 4sylan 488 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
6 simp1l 1085 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. 𝑛Locally A )
7 simp2l 1087 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> x e. J )
8 simp3 1063 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> y e. x )
9 nlly2i 21279 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. s e. ~P x E. u e. J ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. s e. ~P x E. u e. J ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) )
1133ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
12113ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
13 simp3l 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> u e. J )
14 simp3r2 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> u C_ s )
15 simp2 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> s e. ~P x )
1615elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> s C_ x )
17 simp12r 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ B )
1816, 17sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> s C_ B )
1914, 18sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> u C_ B )
2063ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> J e. 𝑛Locally A )
2120, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> J e. Top )
22 simp11r 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> B e. J )
23 restopn2 20981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( u e. ( J ↾t B ) <-> ( u e. J /\ u C_ B ) ) )
2421, 22, 23syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( u e. ( J ↾t B ) <-> ( u e. J /\ u C_ B ) ) )
2513, 19, 24mpbir2and 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> u e. ( J ↾t B ) )
26 simp3r1 1169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> y e. u )
27 opnneip 20923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J ↾t B ) e. Top /\ u e. ( J ↾t B ) /\ y e. u ) -> u e. ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) )
2812, 25, 26, 27syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> u e. ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) )
29 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. J -> B C_ U. J )
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> B C_ U. J )
31 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J = U. J
3231restuni 20966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ B C_ U. J ) -> B = U. ( J ↾t B ) )
3321, 30, 32syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> B = U. ( J ↾t B ) )
3418, 33sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> s C_ U. ( J ↾t B ) )
35 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( J ↾t B ) = U. ( J ↾t B )
3635ssnei2 20920 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J ↾t B ) e. Top /\ u e. ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) ) /\ ( u C_ s /\ s C_ U. ( J ↾t B ) ) ) -> s e. ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) )
3712, 28, 14, 34, 36syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> s e. ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) )
3837, 15elind 3798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) )
39 restabs 20969 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ s C_ B /\ B e. J ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t s ) = ( J ↾t s ) )
4021, 18, 22, 39syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t s ) = ( J ↾t s ) )
41 simp3r3 1171 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t s ) e. A )
4240, 41eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A )
4338, 42jca 554 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A ) )
44433expa 1265 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A ) )
4544rexlimdvaa 3032 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ s e. ~P x ) -> ( E. u e. J ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) -> ( s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A ) ) )
4645expimpd 629 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( s e. ~P x /\ E. u e. J ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) ) -> ( s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A ) ) )
4746reximdv2 3014 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( E. s e. ~P x E. u e. J ( y e. u /\ u C_ s /\ ( J ↾t s ) e. A ) -> E. s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A ) )
4810, 47mpd 15 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A )
49483expa 1265 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) /\ y e. x ) -> E. s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A )
5049ralrimiva 2966 . . . . 5 |- ( ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) -> A. y e. x E. s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A )
5150ex 450 . . . 4 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) -> ( ( x e. J /\ x C_ B ) -> A. y e. x E. s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A ) )
525, 51sylbid 230 . . 3 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) -> A. y e. x E. s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A ) )
5352ralrimiv 2965 . 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) -> A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A )
54 isnlly 21272 . 2 |- ( ( J ↾t B ) e. 𝑛Locally A <-> ( ( J ↾t B ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. s e. ( ( ( nei ` ( J ↾t B ) ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( ( J ↾t B ) ↾t s ) e. A ) )
553, 53, 54sylanbrc 698 1 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. 𝑛Locally A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾t crest 16081   Topctop 20698   neicnei 20901  𝑛Locally cnlly 21268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-nei 20902  df-nlly 21270
This theorem is referenced by:  loclly  21290  nllyidm  21292
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