Theorem nnawordex 7717

Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnawordex	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nnawordex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> B e. om )
2		nnon 7071	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> B e. On )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> B e. On )
4		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> A e. om )
5		nnaword2 7710	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> B C_ ( A +o B ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> B C_ ( A +o B ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( A +o y ) = ( A +o B ) )
8	7	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( B C_ ( A +o y ) <-> B C_ ( A +o B ) ) )
9	8	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( B e. { y e. On | B C_ ( A +o y ) } <-> ( B e. On /\ B C_ ( A +o B ) ) )
10	3, 6, 9	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> B e. { y e. On | B C_ ( A +o y ) } )
11		intss1 4492	. . . . . 6 |- ( B e. { y e. On | B C_ ( A +o y ) } -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } C_ B )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } C_ B )
13		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { y e. On | B C_ ( A +o y ) } C_ On
14		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { y e. On | B C_ ( A +o y ) } -> { y e. On | B C_ ( A +o y ) } =/= (/) )
15	10, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> { y e. On | B C_ ( A +o y ) } =/= (/) )
16		oninton 7000	. . . . . . . 8 |- ( ( { y e. On | B C_ ( A +o y ) } C_ On /\ { y e. On | B C_ ( A +o y ) } =/= (/) ) -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. On )
17	13, 15, 16	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. On )
18		eloni 5733	. . . . . . 7 |- ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. On -> Ord |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } )
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> Ord |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } )
20		ordom 7074	. . . . . 6 |- Ord om
21		ordtr2 5768	. . . . . 6 |- ( ( Ord |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } /\ Ord om ) -> ( ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } C_ B /\ B e. om ) -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. om ) )
22	19, 20, 21	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> ( ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } C_ B /\ B e. om ) -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. om ) )
23	12, 1, 22	mp2and 715	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. om )
24		nna0 7684	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> ( A +o (/) ) = A )
26		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> A C_ B )
27	25, 26	eqsstrd 3639	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> ( A +o (/) ) C_ B )
28		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = (/) -> ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) = ( A +o (/) ) )
29	28	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = (/) -> ( ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) C_ B <-> ( A +o (/) ) C_ B ) )
30	27, 29	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = (/) -> ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) C_ B ) )
31		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) = ( A +o suc x ) )
33	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> A e. om )
34		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> x e. om )
35		nnasuc 7686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( A +o suc x ) = suc ( A +o x ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> ( A +o suc x ) = suc ( A +o x ) )
37	32, 36	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) = suc ( A +o x ) )
38		nnord 7073	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. om -> Ord B )
39	1, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> Ord B )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> Ord B )
41		nnon 7071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. om -> x e. On )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) -> x e. On )
43		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
44	43	sucid 5804	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. suc x
45		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x )
46	44, 45	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) -> x e. |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } )
47		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( A +o y ) = ( A +o x ) )
48	47	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( B C_ ( A +o y ) <-> B C_ ( A +o x ) ) )
49	48	onnminsb 7004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( x e. |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } -> -. B C_ ( A +o x ) ) )
50	42, 46, 49	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) -> -. B C_ ( A +o x ) )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> -. B C_ ( A +o x ) )
52		nnacl 7691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( A +o x ) e. om )
53	33, 34, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> ( A +o x ) e. om )
54		nnord 7073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A +o x ) e. om -> Ord ( A +o x ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> Ord ( A +o x ) )
56		ordtri1 5756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord B /\ Ord ( A +o x ) ) -> ( B C_ ( A +o x ) <-> -. ( A +o x ) e. B ) )
57	40, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> ( B C_ ( A +o x ) <-> -. ( A +o x ) e. B ) )
58	57	con2bid 344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> ( ( A +o x ) e. B <-> -. B C_ ( A +o x ) ) )
59	51, 58	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> ( A +o x ) e. B )
60		ordsucss 7018	. . . . . . . . 9 |- ( Ord B -> ( ( A +o x ) e. B -> suc ( A +o x ) C_ B ) )
61	40, 59, 60	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> suc ( A +o x ) C_ B )
62	37, 61	eqsstrd 3639	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) /\ ( x e. om /\ |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) ) -> ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) C_ B )
63	62	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> ( E. x e. om |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x -> ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) C_ B ) )
64		nn0suc 7090	. . . . . . 7 |- ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. om -> ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = (/) \/ E. x e. om |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) )
65	23, 64	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = (/) \/ E. x e. om |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } = suc x ) )
66	30, 63, 65	mpjaod 396	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) C_ B )
67		onint 6995	. . . . . . 7 |- ( ( { y e. On | B C_ ( A +o y ) } C_ On /\ { y e. On | B C_ ( A +o y ) } =/= (/) ) -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. { y e. On | B C_ ( A +o y ) } )
68	13, 15, 67	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. { y e. On | B C_ ( A +o y ) } )
69		nfrab1 3122	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { y e. On | B C_ ( A +o y ) }
70	69	nfint 4486	. . . . . . . 8 |- F/_ y |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) }
71		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y On
72		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y B
73		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y A
74		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y +o
75	73, 74, 70	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } )
76	72, 75	nfss 3596	. . . . . . . 8 |- F/ y B C_ ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } )
77		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( y = |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } -> ( A +o y ) = ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) )
78	77	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( y = |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } -> ( B C_ ( A +o y ) <-> B C_ ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) ) )
79	70, 71, 76, 78	elrabf 3360	. . . . . . 7 |- ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. { y e. On | B C_ ( A +o y ) } <-> ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. On /\ B C_ ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) ) )
80	79	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. { y e. On | B C_ ( A +o y ) } -> B C_ ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) )
81	68, 80	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> B C_ ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) )
82	66, 81	eqssd 3620	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) = B )
83		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } -> ( A +o x ) = ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) )
84	83	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( x = |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } -> ( ( A +o x ) = B <-> ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) = B ) )
85	84	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } e. om /\ ( A +o |^| { y e. On | B C_ ( A +o y ) } ) = B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
86	23, 82, 85	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A C_ B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
87	86	ex 450	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
88		nnaword1 7709	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> A C_ ( A +o x ) )
89	88	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ x e. om ) -> A C_ ( A +o x ) )
90		sseq2 3627	. . . 4 |- ( ( A +o x ) = B -> ( A C_ ( A +o x ) <-> A C_ B ) )
91	89, 90	syl5ibcom 235	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ x e. om ) -> ( ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
92	91	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( E. x e. om ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
93	87, 92	impbid 202	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  nnaordex  7718  unfilem1  8224  hashdom  13168