Theorem winainflem 9515

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainflem	|- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem winainflem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0suc 7090	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. z e. om A = suc z ) )
2		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A =/= (/) )
3	2	necon2bi 2824	. . . . 5 |- ( A = (/) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
4		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
5	4	sucid 5804	. . . . . . . . . . 11 |- z e. suc z
6		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc z -> ( z e. A <-> z e. suc z ) )
7	5, 6	mpbiri 248	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc z -> z e. A )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> z e. A )
9		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x ~< y <-> z ~< y ) )
10	9	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( E. y e. A x ~< y <-> E. y e. A z ~< y ) )
11		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( z ~< y <-> z ~< w ) )
12	11	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A z ~< y <-> E. w e. A z ~< w )
13	10, 12	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( E. y e. A x ~< y <-> E. w e. A z ~< w ) )
14	13	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> E. w e. A z ~< w ) )
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> E. w e. A z ~< w ) )
16		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = suc z -> ( w e. A <-> w e. suc z ) )
17	16	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A = suc z /\ w e. A ) -> w e. suc z )
18	17	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w e. suc z )
19		nnon 7071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. om -> z e. On )
20		suceloni 7013	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. On -> suc z e. On )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. om -> suc z e. On )
22		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A = suc z -> ( A e. On <-> suc z e. On ) )
23	22	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( suc z e. On /\ A = suc z ) -> A e. On )
24	21, 23	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> A e. On )
25	24	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> A e. On )
26		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ w e. A ) -> w e. On )
27	25, 26	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w e. On )
28		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> z e. om )
29	28, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> z e. On )
30		onsssuc 5813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. On /\ z e. On ) -> ( w C_ z <-> w e. suc z ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> ( w C_ z <-> w e. suc z ) )
32	18, 31	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w C_ z )
33		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V -> ( w C_ z -> w ~<_ z ) )
34	4, 32, 33	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> w ~<_ z )
35		domnsym 8086	. . . . . . . . . . 11 |- ( w ~<_ z -> -. z ~< w )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) /\ w e. A ) -> -. z ~< w )
37	36	nrexdv 3001	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. om /\ A = suc z /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> -. E. w e. A z ~< w )
38	37	3expia 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> ( A. x e. A E. y e. A x ~< y -> -. E. w e. A z ~< w ) )
39	15, 38	pm2.65d 187	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> -. A. x e. A E. y e. A x ~< y )
40	39	intn3an3d 1444	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ A = suc z ) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
41	40	rexlimiva 3028	. . . . 5 |- ( E. z e. om A = suc z -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
42	3, 41	jaoi 394	. . . 4 |- ( ( A = (/) \/ E. z e. om A = suc z ) -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
43	1, 42	syl 17	. . 3 |- ( A e. om -> -. ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) )
44	43	con2i 134	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> -. A e. om )
45		ordom 7074	. . 3 |- Ord om
46		eloni 5733	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord A )
47	46	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> Ord A )
48		ordtri1 5756	. . 3 |- ( ( Ord om /\ Ord A ) -> ( om C_ A <-> -. A e. om ) )
49	45, 47, 48	sylancr 695	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> ( om C_ A <-> -. A e. om ) )
50	44, 49	mpbird 247	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A e. On /\ A. x e. A E. y e. A x ~< y ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  winainf  9516  tskcard  9603  gruina  9640