Theorem nnawordi 7701

Description: Adding to both sides of an inequality in om. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nnawordi	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) )

Proof of Theorem nnawordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
2		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
3	1, 2	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) C_ ( B +o x ) <-> ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) ) )
4	3	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) <-> ( A C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) ) ) )
5	4	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) ) ) ) )
6		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A +o x ) = ( A +o y ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
8	6, 7	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A +o x ) C_ ( B +o x ) <-> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) )
9	8	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) <-> ( A C_ B -> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( A +o x ) = ( A +o suc y ) )
12		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
13	11, 12	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( A +o x ) C_ ( B +o x ) <-> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) )
14	13	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) <-> ( A C_ B -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) ) )
16		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( A +o x ) = ( A +o C ) )
17		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
18	16, 17	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( A +o x ) C_ ( B +o x ) <-> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) )
19	18	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) <-> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) ) ) )
21		nnon 7071	. . . . 5 |- ( A e. om -> A e. On )
22		nnon 7071	. . . . 5 |- ( B e. om -> B e. On )
23		oa0 7596	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A )
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o (/) ) = A )
25		oa0 7596	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( B +o (/) ) = B )
26	25	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( B +o (/) ) = B )
27	24, 26	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) <-> A C_ B ) )
28	27	biimprd 238	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) ) )
29	21, 22, 28	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) ) )
30		nnacl 7691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o y ) e. om )
31	30	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( A +o y ) e. om )
32	31	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( A +o y ) e. om )
33		nnon 7071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o y ) e. om -> ( A +o y ) e. On )
34		eloni 5733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o y ) e. On -> Ord ( A +o y ) )
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> Ord ( A +o y ) )
36		nnacl 7691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) e. om )
37	36	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( B +o y ) e. om )
38	37	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( B +o y ) e. om )
39		nnon 7071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B +o y ) e. om -> ( B +o y ) e. On )
40		eloni 5733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B +o y ) e. On -> Ord ( B +o y ) )
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> Ord ( B +o y ) )
42		ordsucsssuc 7023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord ( A +o y ) /\ Ord ( B +o y ) ) -> ( ( A +o y ) C_ ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) C_ suc ( B +o y ) ) )
43	35, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( A +o y ) C_ ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) C_ suc ( B +o y ) ) )
44	43	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) /\ ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) -> suc ( A +o y ) C_ suc ( B +o y ) )
45		nnasuc 7686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
46	45	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
47	46	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
48		nnasuc 7686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
49	48	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
50	49	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
51	47, 50	sseq12d 3634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) <-> suc ( A +o y ) C_ suc ( B +o y ) ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) /\ ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) -> ( ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) <-> suc ( A +o y ) C_ suc ( B +o y ) ) )
53	44, 52	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) /\ ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) )
54	53	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( A +o y ) C_ ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) )
55	54	imim2d 57	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( A C_ B -> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) -> ( A C_ B -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) )
56	55	ex 450	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B -> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) -> ( A C_ B -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) ) )
57	56	a2d 29	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) ) -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) ) )
58	5, 10, 15, 20, 29, 57	finds 7092	. . 3 |- ( C e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) ) )
59	58	com12 32	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( C e. om -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) ) )
60	59	3impia 1261	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   (/)c0 3915   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  omopthlem2  7736