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Theorem noresle 31846
Description: Restriction law for surreals. Lemma 2.1.4 of [Lipparini] p. 3. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
noresle |- ( ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ ( dom U C_ A /\ dom S C_ A /\ A. g e. A -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> -. S <s U )
Distinct variable groups:   S, g   U, g   A, g
Proof of Theorem noresle
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unss 3787 . . . 4 |- ( ( dom U C_ A /\ dom S C_ A ) <-> ( dom U u. dom S ) C_ A )
2 ssralv 3666 . . . 4 |- ( ( dom U u. dom S ) C_ A -> ( A. g e. A -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) -> A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) )
31, 2sylbi 207 . . 3 |- ( ( dom U C_ A /\ dom S C_ A ) -> ( A. g e. A -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) -> A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) )
433impia 1261 . 2 |- ( ( dom U C_ A /\ dom S C_ A /\ A. g e. A -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) -> A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) )
5 breq1 4656 . . . . . . . 8 |- ( U = S -> ( U <s U <-> S <s U ) )
65notbid 308 . . . . . . 7 |- ( U = S -> ( -. U <s U <-> -. S <s U ) )
76biimpd 219 . . . . . 6 |- ( U = S -> ( -. U <s U -> -. S <s U ) )
8 sltso 31827 . . . . . . . 8 |- <s Or No
9 sonr 5056 . . . . . . . 8 |- ( ( <s Or No /\ U e. No ) -> -. U <s U )
108, 9mpan 706 . . . . . . 7 |- ( U e. No -> -. U <s U )
1110adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( U e. No /\ S e. No ) -> -. U <s U )
127, 11impel 485 . . . . 5 |- ( ( U = S /\ ( U e. No /\ S e. No ) ) -> -. S <s U )
1312adantrr 753 . . . 4 |- ( ( U = S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> -. S <s U )
1413ex 450 . . 3 |- ( U = S -> ( ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) -> -. S <s U ) )
15 simprl 794 . . . . 5 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> ( U e. No /\ S e. No ) )
16 simprll 802 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> U e. No )
17 simprlr 803 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> S e. No )
18 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> U =/= S )
19 nosepne 31831 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. No /\ S e. No /\ U =/= S ) -> ( U ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) =/= ( S ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> ( U ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) =/= ( S ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
21 nosepon 31818 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. No /\ S e. No /\ U =/= S ) -> |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. On )
2216, 17, 18, 21syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. On )
23 sucidg 5803 . . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. On -> |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } )
2524fvresd 6208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) = ( U ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
2624fvresd 6208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> ( ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) = ( S ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
2720, 25, 263netr4d 2871 . . . . . . . . 9 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) =/= ( ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
2827neneqd 2799 . . . . . . . 8 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> -. ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) = ( ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
29 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) = ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) -> ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) = ( ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ` |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
3028, 29nsyl 135 . . . . . . 7 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> -. ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) = ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
31 nosepdm 31834 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. No /\ S e. No /\ U =/= S ) -> |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. ( dom U u. dom S ) )
3216, 17, 18, 31syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. ( dom U u. dom S ) )
33 simprr 796 . . . . . . . 8 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) )
34 suceq 5790 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g = |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } -> suc g = suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } )
3534reseq2d 5396 . . . . . . . . . . 11 |- ( g = |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } -> ( S |` suc g ) = ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
3634reseq2d 5396 . . . . . . . . . . 11 |- ( g = |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } -> ( U |` suc g ) = ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
3735, 36breq12d 4666 . . . . . . . . . 10 |- ( g = |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } -> ( ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) <-> ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ) )
3837notbid 308 . . . . . . . . 9 |- ( g = |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } -> ( -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) <-> -. ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ) )
3938rspcv 3305 . . . . . . . 8 |- ( |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. ( dom U u. dom S ) -> ( A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) -> -. ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ) )
4032, 33, 39sylc 65 . . . . . . 7 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> -. ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
41 suceloni 7013 . . . . . . . . . 10 |- ( |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. On -> suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. On )
4222, 41syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. On )
43 noreson 31813 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. No /\ suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. On ) -> ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) e. No )
4416, 42, 43syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) e. No )
45 noreson 31813 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. No /\ suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. On ) -> ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) e. No )
4617, 42, 45syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) e. No )
47 solin 5058 . . . . . . . . 9 |- ( ( <s Or No /\ ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) e. No /\ ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) e. No ) ) -> ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) \/ ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) = ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) \/ ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ) )
488, 47mpan 706 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) e. No /\ ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) e. No ) -> ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) \/ ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) = ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) \/ ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ) )
4944, 46, 48syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) \/ ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) = ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) \/ ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) ) )
5030, 40, 49ecase23d 1436 . . . . . 6 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) )
51 sltres 31815 . . . . . . 7 |- ( ( U e. No /\ S e. No /\ suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } e. On ) -> ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) -> U <s S ) )
5216, 17, 42, 51syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> ( ( U |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) <s ( S |` suc |^| { x e. On | ( U ` x ) =/= ( S ` x ) } ) -> U <s S ) )
5350, 52mpd 15 . . . . 5 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> U <s S )
54 soasym 31657 . . . . . 6 |- ( ( <s Or No /\ ( U e. No /\ S e. No ) ) -> ( U <s S -> -. S <s U ) )
558, 54mpan 706 . . . . 5 |- ( ( U e. No /\ S e. No ) -> ( U <s S -> -. S <s U ) )
5615, 53, 55sylc 65 . . . 4 |- ( ( U =/= S /\ ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> -. S <s U )
5756ex 450 . . 3 |- ( U =/= S -> ( ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) -> -. S <s U ) )
5814, 57pm2.61ine 2877 . 2 |- ( ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ A. g e. ( dom U u. dom S ) -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) -> -. S <s U )
594, 58sylan2 491 1 |- ( ( ( U e. No /\ S e. No ) /\ ( dom U C_ A /\ dom S C_ A /\ A. g e. A -. ( S |` suc g ) <s ( U |` suc g ) ) ) -> -. S <s U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   Or wor 5034   dom cdm 5114   |` cres 5116   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888   Nocsur 31793   <scslt 31794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797
This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem1  31854  nosupbnd2  31862
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