Theorem npex 9808

Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
npex	|- P. e. _V

Proof of Theorem npex

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 9745	. . 3 |- Q. e. _V
2	1	pwex 4848	. 2 |- ~P Q. e. _V
3		pssss 3702	. . . . 5 |- ( x C. Q. -> x C_ Q. )
4	3	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) -> x C_ Q. )
5	4	ss2abi 3674	. . 3 |- { x | ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) } C_ { x | x C_ Q. }
6		df-np 9803	. . 3 |- P. = { x | ( ( (/) C. x /\ x C. Q. ) /\ A. y e. x ( A. z ( z <Q y -> z e. x ) /\ E. z e. x y <Q z ) ) }
7		df-pw 4160	. . 3 |- ~P Q. = { x | x C_ Q. }
8	5, 6, 7	3sstr4i 3644	. 2 |- P. C_ ~P Q.
9	2, 8	ssexi 4803	1 |- P. e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   Q.cnq 9674   <Q cltq 9680   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066  df-ni 9694  df-nq 9734  df-np 9803

This theorem is referenced by:  enrex  9888  axcnex  9968