Theorem oalimcl 7640

Description: The ordinal sum with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.11 of [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 8-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oalimcl	|- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> Lim ( A +o B ) )

Proof of Theorem oalimcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limelon 5788	. . 3 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> B e. On )
2		oacl 7615	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) e. On )
3		eloni 5733	. . . 4 |- ( ( A +o B ) e. On -> Ord ( A +o B ) )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> Ord ( A +o B ) )
5	1, 4	sylan2 491	. 2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> Ord ( A +o B ) )
6		0ellim 5787	. . . . . 6 |- ( Lim B -> (/) e. B )
7		n0i 3920	. . . . . 6 |- ( (/) e. B -> -. B = (/) )
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( Lim B -> -. B = (/) )
9	8	ad2antll 765	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> -. B = (/) )
10		oa00 7639	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) = (/) <-> ( A = (/) /\ B = (/) ) ) )
11		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( A = (/) /\ B = (/) ) -> B = (/) )
12	10, 11	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) = (/) -> B = (/) ) )
13	12	con3d 148	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( -. B = (/) -> -. ( A +o B ) = (/) ) )
14	1, 13	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( -. B = (/) -> -. ( A +o B ) = (/) ) )
15	9, 14	mpd 15	. . 3 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> -. ( A +o B ) = (/) )
16		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
17	16	sucid 5804	. . . . . . . . . 10 |- y e. suc y
18		oalim 7612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A +o B ) = U_ x e. B ( A +o x ) )
19		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o B ) = suc y -> ( ( A +o B ) = U_ x e. B ( A +o x ) <-> suc y = U_ x e. B ( A +o x ) ) )
20	18, 19	syl5ib 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o B ) = suc y -> ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> suc y = U_ x e. B ( A +o x ) ) )
21	20	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A +o B ) = suc y /\ ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) ) -> suc y = U_ x e. B ( A +o x ) )
22	17, 21	syl5eleq 2707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +o B ) = suc y /\ ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) ) -> y e. U_ x e. B ( A +o x ) )
23		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( y e. U_ x e. B ( A +o x ) <-> E. x e. B y e. ( A +o x ) )
24	22, 23	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A +o B ) = suc y /\ ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) ) -> E. x e. B y e. ( A +o x ) )
25		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
26	1, 25	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> x e. On )
27		onnbtwn 5818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. On -> -. ( x e. B /\ B e. suc x ) )
28		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. B -> -. B e. suc x ) <-> -. ( x e. B /\ B e. suc x ) )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. On -> ( x e. B -> -. B e. suc x ) )
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. B -> ( x e. On -> -. B e. suc x ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> ( x e. On -> -. B e. suc x ) )
32	26, 31	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> -. B e. suc x )
33	32	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) /\ y e. ( A +o x ) ) ) -> -. B e. suc x )
34		oacl 7615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A +o x ) e. On )
35		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A +o x ) e. On -> Ord ( A +o x ) )
36		ordsucelsuc 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Ord ( A +o x ) -> ( y e. ( A +o x ) <-> suc y e. suc ( A +o x ) ) )
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( y e. ( A +o x ) <-> suc y e. suc ( A +o x ) ) )
38		oasuc 7604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A +o suc x ) = suc ( A +o x ) )
39	38	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( suc y e. ( A +o suc x ) <-> suc y e. suc ( A +o x ) ) )
40	37, 39	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( y e. ( A +o x ) <-> suc y e. ( A +o suc x ) ) )
41	26, 40	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. On /\ ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) ) -> ( y e. ( A +o x ) <-> suc y e. ( A +o suc x ) ) )
42		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A +o B ) = suc y -> ( ( A +o B ) e. ( A +o suc x ) <-> suc y e. ( A +o suc x ) ) )
43	42	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A +o B ) = suc y -> ( suc y e. ( A +o suc x ) <-> ( A +o B ) e. ( A +o suc x ) ) )
44	41, 43	sylan9bbr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A +o B ) = suc y /\ ( A e. On /\ ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) ) ) -> ( y e. ( A +o x ) <-> ( A +o B ) e. ( A +o suc x ) ) )
45	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> B e. On )
46		sucelon 7017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. On <-> suc x e. On )
47	26, 46	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> suc x e. On )
48	45, 47	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> ( B e. On /\ suc x e. On ) )
49		oaord 7627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B e. On /\ suc x e. On /\ A e. On ) -> ( B e. suc x <-> ( A +o B ) e. ( A +o suc x ) ) )
50	49	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( B e. On /\ suc x e. On ) /\ A e. On ) -> ( B e. suc x <-> ( A +o B ) e. ( A +o suc x ) ) )
51	48, 50	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) /\ A e. On ) -> ( B e. suc x <-> ( A +o B ) e. ( A +o suc x ) ) )
52	51	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. On /\ ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) ) -> ( B e. suc x <-> ( A +o B ) e. ( A +o suc x ) ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A +o B ) = suc y /\ ( A e. On /\ ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) ) ) -> ( B e. suc x <-> ( A +o B ) e. ( A +o suc x ) ) )
54	44, 53	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A +o B ) = suc y /\ ( A e. On /\ ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) ) ) -> ( y e. ( A +o x ) <-> B e. suc x ) )
55	54	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A +o B ) = suc y /\ ( A e. On /\ ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) ) ) -> ( y e. ( A +o x ) -> B e. suc x ) )
56	55	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A +o B ) = suc y -> ( A e. On -> ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> ( y e. ( A +o x ) -> B e. suc x ) ) ) )
57	56	com4l 92	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. On -> ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> ( y e. ( A +o x ) -> ( ( A +o B ) = suc y -> B e. suc x ) ) ) )
58	57	imp32 449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) /\ y e. ( A +o x ) ) ) -> ( ( A +o B ) = suc y -> B e. suc x ) )
59	33, 58	mtod 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) /\ y e. ( A +o x ) ) ) -> -. ( A +o B ) = suc y )
60	59	exp44 641	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. On -> ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( x e. B -> ( y e. ( A +o x ) -> -. ( A +o B ) = suc y ) ) ) )
61	60	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( x e. B -> ( y e. ( A +o x ) -> -. ( A +o B ) = suc y ) ) )
62	61	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( E. x e. B y e. ( A +o x ) -> -. ( A +o B ) = suc y ) )
63	62	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A +o B ) = suc y /\ ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) ) -> ( E. x e. B y e. ( A +o x ) -> -. ( A +o B ) = suc y ) )
64	24, 63	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( A +o B ) = suc y /\ ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) ) -> -. ( A +o B ) = suc y )
65	64	expcom 451	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( ( A +o B ) = suc y -> -. ( A +o B ) = suc y ) )
66	65	pm2.01d 181	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> -. ( A +o B ) = suc y )
67	66	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ y e. On ) -> -. ( A +o B ) = suc y )
68	67	nrexdv 3001	. . 3 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> -. E. y e. On ( A +o B ) = suc y )
69		ioran 511	. . 3 |- ( -. ( ( A +o B ) = (/) \/ E. y e. On ( A +o B ) = suc y ) <-> ( -. ( A +o B ) = (/) /\ -. E. y e. On ( A +o B ) = suc y ) )
70	15, 68, 69	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> -. ( ( A +o B ) = (/) \/ E. y e. On ( A +o B ) = suc y ) )
71		dflim3 7047	. 2 |- ( Lim ( A +o B ) <-> ( Ord ( A +o B ) /\ -. ( ( A +o B ) = (/) \/ E. y e. On ( A +o B ) = suc y ) ) )
72	5, 70, 71	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> Lim ( A +o B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   +o coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  oaass  7641  odi  7659  wunex3  9563