Theorem oaass 7641

Description: Ordinal addition is associative. Theorem 25 of [Suppes] p. 211. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaass	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )

Proof of Theorem oaass

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o (/) ) )
2		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
3	2	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o ( B +o (/) ) ) ) )
5		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o y ) )
6		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
7	6	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) )
9		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o suc y ) )
10		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
11	10	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) ) )
13		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
14		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A +o ( B +o x ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) <-> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) ) )
17		oacl 7615	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) e. On )
18		oa0 7596	. . . . . 6 |- ( ( A +o B ) e. On -> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o B ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o B ) )
20		oa0 7596	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( B +o (/) ) = B )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( A +o ( B +o (/) ) ) = ( A +o B ) )
22	21	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o ( B +o (/) ) ) = ( A +o B ) )
23	19, 22	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) +o (/) ) = ( A +o ( B +o (/) ) ) )
24		suceq 5790	. . . . . 6 |- ( ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> suc ( ( A +o B ) +o y ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
25		oasuc 7604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A +o B ) e. On /\ y e. On ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = suc ( ( A +o B ) +o y ) )
26	17, 25	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = suc ( ( A +o B ) +o y ) )
27		oasuc 7604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = ( A +o suc ( B +o y ) ) )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ y e. On ) ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = ( A +o suc ( B +o y ) ) )
30		oacl 7615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B +o y ) e. On )
31		oasuc 7604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( B +o y ) e. On ) -> ( A +o suc ( B +o y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
32	30, 31	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ y e. On ) ) -> ( A +o suc ( B +o y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
33	29, 32	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ y e. On ) ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
34	33	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( A +o ( B +o suc y ) ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) )
35	26, 34	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) <-> suc ( ( A +o B ) +o y ) = suc ( A +o ( B +o y ) ) ) )
36	24, 35	syl5ibr 236	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ y e. On ) -> ( ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) ) )
37	36	expcom 451	. . . 4 |- ( y e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> ( ( A +o B ) +o suc y ) = ( A +o ( B +o suc y ) ) ) ) )
38		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
39		oalim 7612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A +o B ) e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
40	38, 39	mpanr1 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +o B ) e. On /\ Lim x ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
41	17, 40	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ Lim x ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
42	41	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
43	42	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
44		oalimcl 7640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> Lim ( B +o x ) )
45	38, 44	mpanr1 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> Lim ( B +o x ) )
46	45	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> Lim ( B +o x ) )
47		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B +o x ) e. _V
48		oalim 7612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ ( ( B +o x ) e. _V /\ Lim ( B +o x ) ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
49	47, 48	mpanr1 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ Lim ( B +o x ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
50	46, 49	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
51		limelon 5788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
52	38, 51	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim x -> x e. On )
53		oacl 7615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( B +o x ) e. On )
54	53	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( B +o x ) e. On )
55		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( B +o x ) e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> z e. On )
56	55	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B +o x ) e. On -> ( z e. ( B +o x ) -> z e. On ) )
57	54, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( z e. ( B +o x ) -> z e. On ) )
58	57	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> z e. On ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> z e. On ) )
60		0ellim 5787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( Lim x -> (/) e. x )
61		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( B e. On -> ( z e. B -> z C_ B ) )
62	20	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( B e. On -> ( z C_ ( B +o (/) ) <-> z C_ B ) )
63	61, 62	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( B e. On -> ( z e. B -> z C_ ( B +o (/) ) ) )
64	63	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( B e. On /\ z e. B ) -> z C_ ( B +o (/) ) )
65		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( y = (/) -> ( B +o y ) = ( B +o (/) ) )
66	65	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( y = (/) -> ( z C_ ( B +o y ) <-> z C_ ( B +o (/) ) ) )
67	66	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( (/) e. x /\ z C_ ( B +o (/) ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
68	60, 64, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Lim x /\ ( B e. On /\ z e. B ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
69	68	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( z e. B -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
70	69	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( z e. B -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
71	70	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> ( z e. B -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
72		oawordex 7637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( B e. On /\ z e. On ) -> ( B C_ z <-> E. y e. On ( B +o y ) = z ) )
73	72	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( B C_ z <-> E. y e. On ( B +o y ) = z ) )
74		oaord 7627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( y e. On /\ x e. On /\ B e. On ) -> ( y e. x <-> ( B +o y ) e. ( B +o x ) ) )
75	74	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( y e. On /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( y e. x <-> ( B +o y ) e. ( B +o x ) ) )
76		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( B +o y ) = z -> ( ( B +o y ) e. ( B +o x ) <-> z e. ( B +o x ) ) )
77	75, 76	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( y e. On /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( B +o y ) = z ) -> ( y e. x <-> z e. ( B +o x ) ) )
78	77	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( y e. x <-> z e. ( B +o x ) ) )
79	78	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> y e. x )
80		eqimss2 3658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( B +o y ) = z -> z C_ ( B +o y ) )
81	80	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> z C_ ( B +o y ) )
82	79, 81	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( y e. x /\ z C_ ( B +o y ) ) )
83	82	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ z e. ( B +o x ) ) ) -> ( y e. x /\ z C_ ( B +o y ) ) )
84	83	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( ( y e. On /\ ( B +o y ) = z ) -> ( y e. x /\ z C_ ( B +o y ) ) ) )
85	84	reximdv2 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( E. y e. On ( B +o y ) = z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
86	85	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( E. y e. On ( B +o y ) = z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
87	73, 86	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( B C_ z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> ( B C_ z -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) )
89		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. On -> Ord z )
90		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( B e. On -> Ord B )
91		ordtri2or 5822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Ord z /\ Ord B ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
92	89, 90, 91	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( B e. On /\ z e. On ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
93	92	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> ( z e. B \/ B C_ z ) )
95	71, 88, 94	mpjaod 396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Lim x /\ ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ ( z e. ( B +o x ) /\ z e. On ) ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
96	95	exp45 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Lim x -> ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( z e. ( B +o x ) -> ( z e. On -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) ) ) )
97	96	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( z e. ( B +o x ) -> ( z e. On -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) ) )
98	97	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( z e. On -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) ) ) )
99	98	imp32 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) -> E. y e. x z C_ ( B +o y ) )
100		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> z e. On )
101		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
102	101, 30	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( B e. On /\ ( x e. On /\ y e. x ) ) -> ( B +o y ) e. On )
103	102	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( B e. On -> ( x e. On -> ( y e. x -> ( B +o y ) e. On ) ) )
104	103	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. On -> ( B e. On -> ( y e. x -> ( B +o y ) e. On ) ) )
105	104	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ y e. x ) -> ( B +o y ) e. On )
106	105	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ y e. x ) -> ( B +o y ) e. On )
107	106	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> ( B +o y ) e. On )
108		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) -> A e. On )
109	108	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> A e. On )
110		oaword 7629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. On /\ ( B +o y ) e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ ( B +o y ) <-> ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
111	100, 107, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) /\ y e. x ) -> ( z C_ ( B +o y ) <-> ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
112	111	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) -> ( E. y e. x z C_ ( B +o y ) <-> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
113	99, 112	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) /\ ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) /\ z e. On ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) )
114	113	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> ( z e. On -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) )
115	59, 114	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ ( x e. On /\ B e. On ) ) -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
116	115	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim x -> ( x e. On -> ( B e. On -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) ) )
117	52, 116	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( ( A e. On /\ z e. ( B +o x ) ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) )
118	117	exp4a 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( A e. On -> ( z e. ( B +o x ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) ) ) )
119	118	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( z e. ( B +o x ) -> E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) ) )
120	119	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> A. z e. ( B +o x ) E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) )
121		iunss2 4565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ( B +o x ) E. y e. x ( A +o z ) C_ ( A +o ( B +o y ) ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) C_ U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) C_ U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
123	122	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) C_ U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
124		oaordi 7626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( y e. x -> ( B +o y ) e. ( B +o x ) ) )
125	124	anim1d 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( ( y e. x /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( ( B +o y ) e. ( B +o x ) /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) ) )
126		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( B +o y ) -> ( A +o z ) = ( A +o ( B +o y ) ) )
127	126	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( B +o y ) -> ( w e. ( A +o z ) <-> w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) )
128	127	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B +o y ) e. ( B +o x ) /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) )
129	125, 128	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( ( y e. x /\ w e. ( A +o ( B +o y ) ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) ) )
130	129	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( y e. x -> ( w e. ( A +o ( B +o y ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) ) ) )
131	130	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( E. y e. x w e. ( A +o ( B +o y ) ) -> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) ) )
132		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) <-> E. y e. x w e. ( A +o ( B +o y ) ) )
133		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) <-> E. z e. ( B +o x ) w e. ( A +o z ) )
134	131, 132, 133	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> ( w e. U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) -> w e. U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) ) )
135	134	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. On /\ B e. On ) -> U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) C_ U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
136	52, 135	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) C_ U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
137	136	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) C_ U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) )
138	123, 137	eqssd 3620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> U_ z e. ( B +o x ) ( A +o z ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
139	50, 138	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ B e. On ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
140	139	an12s 843	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
141	140	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
142		iuneq2 4537	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
143	142	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = U_ y e. x ( A +o ( B +o y ) ) )
144	141, 143	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( A +o ( B +o x ) ) = U_ y e. x ( ( A +o B ) +o y ) )
145	43, 144	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ B e. On ) ) /\ A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) )
146	145	exp31 630	. . . 4 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A. y e. x ( ( A +o B ) +o y ) = ( A +o ( B +o y ) ) -> ( ( A +o B ) +o x ) = ( A +o ( B +o x ) ) ) ) )
147	4, 8, 12, 16, 23, 37, 146	tfinds3 7064	. . 3 |- ( C e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) ) )
148	147	com12 32	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( C e. On -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) ) )
149	148	3impia 1261	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   +o coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  odi  7659  oaabs  7724  oaabs2  7725