Theorem dfac12lem1 8965

Description: Lemma for dfac12 8971. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfac12.1	|- ( ph -> A e. On )
dfac12.3	|- ( ph -> F : ~P (har ` ( R1 ` A ) ) -1-1-> On )
dfac12.4	|- G = recs ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) )
dfac12.5	|- ( ph -> C e. On )
dfac12.h	|- H = ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) )

Assertion

Ref	Expression
dfac12lem1	|- ( ph -> ( G ` C ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   x, y, C   x, G, y   ph, y   x, F, y   y, H

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   H( x)

Proof of Theorem dfac12lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac12.5	. . 3 |- ( ph -> C e. On )
2		dfac12.4	. . . 4 |- G = recs ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) )
3	2	tfr2 7494	. . 3 |- ( C e. On -> ( G ` C ) = ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) )
4	1, 3	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( G ` C ) = ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) )
5	2	tfr1 7493	. . . . 5 |- G Fn On
6		fnfun 5988	. . . . 5 |- ( G Fn On -> Fun G )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun G
8		resfunexg 6479	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ C e. On ) -> ( G |` C ) e. _V )
9	7, 1, 8	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( G |` C ) e. _V )
10		dmeq 5324	. . . . . 6 |- ( x = ( G |` C ) -> dom x = dom ( G |` C ) )
11	10	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = ( G |` C ) -> ( R1 ` dom x ) = ( R1 ` dom ( G |` C ) ) )
12	10	unieqd 4446	. . . . . . 7 |- ( x = ( G |` C ) -> U. dom x = U. dom ( G |` C ) )
13	10, 12	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = ( G |` C ) -> ( dom x = U. dom x <-> dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) ) )
14		rneq 5351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( G |` C ) -> ran x = ran ( G |` C ) )
15		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G " C ) = ran ( G |` C )
16	14, 15	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( G |` C ) -> ran x = ( G " C ) )
17	16	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G |` C ) -> U. ran x = U. ( G " C ) )
18	17	rneqd 5353	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G |` C ) -> ran U. ran x = ran U. ( G " C ) )
19	18	unieqd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( G |` C ) -> U. ran U. ran x = U. ran U. ( G " C ) )
20		suceq 5790	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran U. ran x = U. ran U. ( G " C ) -> suc U. ran U. ran x = suc U. ran U. ( G " C ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x = ( G |` C ) -> suc U. ran U. ran x = suc U. ran U. ( G " C ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = ( G |` C ) -> ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) = ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) )
23		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( x = ( G |` C ) -> ( x ` suc ( rank ` y ) ) = ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) )
24	23	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( x = ( G |` C ) -> ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) )
25	22, 24	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( x = ( G |` C ) -> ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) )
26		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( G |` C ) -> x = ( G |` C ) )
27	26, 12	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( G |` C ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) )
28	27	rneqd 5353	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G |` C ) -> ran ( x ` U. dom x ) = ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) )
29		oieq2 8418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran ( x ` U. dom x ) = ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) -> OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) = OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G |` C ) -> OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) = OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) )
31	30	cnveqd 5298	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( G |` C ) -> `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) = `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) )
32	31, 27	coeq12d 5286	. . . . . . . 8 |- ( x = ( G |` C ) -> ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) = ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) )
33	32	imaeq1d 5465	. . . . . . 7 |- ( x = ( G |` C ) -> ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) = ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = ( G |` C ) -> ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) = ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) )
35	13, 25, 34	ifbieq12d 4113	. . . . 5 |- ( x = ( G |` C ) -> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) = if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) )
36	11, 35	mpteq12dv 4733	. . . 4 |- ( x = ( G |` C ) -> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) = ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) )
37		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) = ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) )
38		fvex 6201	. . . . 5 |- ( R1 ` dom ( G |` C ) ) e. _V
39	38	mptex 6486	. . . 4 |- ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) e. _V
40	36, 37, 39	fvmpt 6282	. . 3 |- ( ( G |` C ) e. _V -> ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) = ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) )
41	9, 40	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ` ( G |` C ) ) = ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) )
42		onss 6990	. . . . . . . 8 |- ( C e. On -> C C_ On )
43	1, 42	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> C C_ On )
44		fnssres 6004	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn On /\ C C_ On ) -> ( G |` C ) Fn C )
45	5, 43, 44	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G |` C ) Fn C )
46		fndm 5990	. . . . . 6 |- ( ( G |` C ) Fn C -> dom ( G |` C ) = C )
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( G |` C ) = C )
48	47	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( R1 ` dom ( G |` C ) ) = ( R1 ` C ) )
49	48	mpteq1d 4738	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) )
50	47	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> dom ( G |` C ) = C )
51	50	unieqd 4446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> U. dom ( G |` C ) = U. C )
52	50, 51	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) <-> C = U. C ) )
53	52	ifbid 4108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) )
54		rankr1ai 8661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( R1 ` C ) -> ( rank ` y ) e. C )
55	54	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` y ) e. C )
56		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> C = U. C )
57	55, 56	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( rank ` y ) e. U. C )
58		eloni 5733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. On -> Ord C )
59		ordsucuniel 7024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord C -> ( ( rank ` y ) e. U. C <-> suc ( rank ` y ) e. C ) )
60	1, 58, 59	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( rank ` y ) e. U. C <-> suc ( rank ` y ) e. C ) )
61	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( rank ` y ) e. U. C <-> suc ( rank ` y ) e. C ) )
62	57, 61	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> suc ( rank ` y ) e. C )
63		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( suc ( rank ` y ) e. C -> ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) = ( G ` suc ( rank ` y ) ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) = ( G ` suc ( rank ` y ) ) )
65	64	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) )
66	65	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ C = U. C ) -> ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) )
67	66	ifeq1da 4116	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) )
68	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. dom ( G |` C ) = U. C )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) = ( ( G |` C ) ` U. C ) )
70	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C e. On )
71		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C e. On -> U. C e. _V )
72		sucidg 5803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. C e. _V -> U. C e. suc U. C )
73	70, 71, 72	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. suc U. C )
74	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> C e. On )
75		orduniorsuc 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord C -> ( C = U. C \/ C = suc U. C ) )
76	74, 58, 75	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> ( C = U. C \/ C = suc U. C ) )
77	76	orcanai 952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> C = suc U. C )
78	73, 77	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> U. C e. C )
79		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. C e. C -> ( ( G |` C ) ` U. C ) = ( G ` U. C ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( G |` C ) ` U. C ) = ( G ` U. C ) )
81	69, 80	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) = ( G ` U. C ) )
82	81	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) = ran ( G ` U. C ) )
83		oieq2 8418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) = ran ( G ` U. C ) -> OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) = OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) = OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
85	84	cnveqd 5298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) = `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) )
86	85, 81	coeq12d 5286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) = ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) ) )
87		dfac12.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( `'OrdIso ( _E , ran ( G ` U. C ) ) o. ( G ` U. C ) )
88	86, 87	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) = H )
89	88	imaeq1d 5465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) = ( H " y ) )
90	89	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) /\ -. C = U. C ) -> ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) = ( F ` ( H " y ) ) )
91	90	ifeq2da 4117	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) )
92	53, 67, 91	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( R1 ` C ) ) -> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) = if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) )
93	92	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) )
94	49, 93	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( y e. ( R1 ` dom ( G |` C ) ) |-> if ( dom ( G |` C ) = U. dom ( G |` C ) , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( ( G |` C ) ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) o. ( ( G |` C ) ` U. dom ( G |` C ) ) ) " y ) ) ) ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) )
95	4, 41, 94	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( G ` C ) = ( y e. ( R1 ` C ) |-> if ( C = U. C , ( ( suc U. ran U. ( G " C ) .o ( rank ` y ) ) +o ( ( G ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( F ` ( H " y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  recscrecs 7467   +o coa 7557   .o comu 7558  OrdIsocoi 8414  harchar 8461   R1cr1 8625   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oi 8415  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  dfac12lem2  8966