Theorem dfac12r 8968

Description: The axiom of choice holds iff every ordinal has a well-orderable powerset. This version of dfac12 8971 does not assume the Axiom of Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac12r	|- ( A. x e. On ~P x e. dom card <-> U. ( R1 " On ) C_ dom card )

Proof of Theorem dfac12r

Dummy variables a b f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankwflemb 8656	. . . 4 |- ( y e. U. ( R1 " On ) <-> E. z e. On y e. ( R1 ` suc z ) )
2		harcl 8466	. . . . . . . . 9 |- (har ` ( R1 ` z ) ) e. On
3		pweq 4161	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (har ` ( R1 ` z ) ) -> ~P x = ~P (har ` ( R1 ` z ) ) )
4	3	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (har ` ( R1 ` z ) ) -> ( ~P x e. dom card <-> ~P (har ` ( R1 ` z ) ) e. dom card ) )
5	4	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( (har ` ( R1 ` z ) ) e. On -> ( A. x e. On ~P x e. dom card -> ~P (har ` ( R1 ` z ) ) e. dom card ) )
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. On ~P x e. dom card -> ~P (har ` ( R1 ` z ) ) e. dom card )
7		cardid2 8779	. . . . . . . 8 |- ( ~P (har ` ( R1 ` z ) ) e. dom card -> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) ~~ ~P (har ` ( R1 ` z ) ) )
8		ensym 8005	. . . . . . . 8 |- ( ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) ~~ ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -> ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ~~ ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) )
9		bren 7964	. . . . . . . . 9 |- ( ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ~~ ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) <-> E. f f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-onto-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) )
10		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-onto-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) /\ z e. On ) -> z e. On )
11		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-onto-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) -> f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-onto-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) /\ z e. On ) -> f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) )
13		cardon 8770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) e. On
14	13	onssi 7037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) C_ On
15		f1ss 6106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) /\ ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) C_ On ) -> f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-> On )
16	12, 14, 15	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-onto-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) /\ z e. On ) -> f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-> On )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = b -> ( rank ` y ) = ( rank ` b ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = b -> ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) = ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` b ) ) )
19		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( rank ` y ) = ( rank ` b ) -> suc ( rank ` y ) = suc ( rank ` b ) )
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = b -> suc ( rank ` y ) = suc ( rank ` b ) )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = b -> ( x ` suc ( rank ` y ) ) = ( x ` suc ( rank ` b ) ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = b -> y = b )
23	21, 22	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = b -> ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) = ( ( x ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) )
24	18, 23	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = b -> ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) = ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` b ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) )
25		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = b -> ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) = ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " b ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = b -> ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) = ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " b ) ) )
27	24, 26	ifeq12d 4106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = b -> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) = if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` b ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " b ) ) ) )
28	27	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) = ( b e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` b ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " b ) ) ) )
29		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> dom x = dom a )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( R1 ` dom x ) = ( R1 ` dom a ) )
31	29	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> U. dom x = U. dom a )
32	29, 31	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( dom x = U. dom x <-> dom a = U. dom a ) )
33		rneq 5351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = a -> ran x = ran a )
34	33	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = a -> U. ran x = U. ran a )
35	34	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = a -> ran U. ran x = ran U. ran a )
36	35	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = a -> U. ran U. ran x = U. ran U. ran a )
37		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( U. ran U. ran x = U. ran U. ran a -> suc U. ran U. ran x = suc U. ran U. ran a )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> suc U. ran U. ran x = suc U. ran U. ran a )
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` b ) ) = ( suc U. ran U. ran a .o ( rank ` b ) ) )
40		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( x ` suc ( rank ` b ) ) = ( a ` suc ( rank ` b ) ) )
41	40	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( ( x ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) = ( ( a ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) )
42	39, 41	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` b ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) = ( ( suc U. ran U. ran a .o ( rank ` b ) ) +o ( ( a ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) )
43		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = a -> x = a )
44	43, 31	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = a -> ( x ` U. dom x ) = ( a ` U. dom a ) )
45	44	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = a -> ran ( x ` U. dom x ) = ran ( a ` U. dom a ) )
46		oieq2 8418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ran ( x ` U. dom x ) = ran ( a ` U. dom a ) -> OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) = OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = a -> OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) = OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) )
48	47	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = a -> `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) = `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) )
49	48, 44	coeq12d 5286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) = ( `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) o. ( a ` U. dom a ) ) )
50	49	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " b ) = ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) o. ( a ` U. dom a ) ) " b ) )
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " b ) ) = ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) o. ( a ` U. dom a ) ) " b ) ) )
52	32, 42, 51	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` b ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " b ) ) ) = if ( dom a = U. dom a , ( ( suc U. ran U. ran a .o ( rank ` b ) ) +o ( ( a ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) o. ( a ` U. dom a ) ) " b ) ) ) )
53	30, 52	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( b e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` b ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " b ) ) ) ) = ( b e. ( R1 ` dom a ) |-> if ( dom a = U. dom a , ( ( suc U. ran U. ran a .o ( rank ` b ) ) +o ( ( a ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) o. ( a ` U. dom a ) ) " b ) ) ) ) )
54	28, 53	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) = ( b e. ( R1 ` dom a ) |-> if ( dom a = U. dom a , ( ( suc U. ran U. ran a .o ( rank ` b ) ) +o ( ( a ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) o. ( a ` U. dom a ) ) " b ) ) ) ) )
55	54	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) = ( a e. _V |-> ( b e. ( R1 ` dom a ) |-> if ( dom a = U. dom a , ( ( suc U. ran U. ran a .o ( rank ` b ) ) +o ( ( a ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) o. ( a ` U. dom a ) ) " b ) ) ) ) )
56		recseq 7470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) = ( a e. _V |-> ( b e. ( R1 ` dom a ) |-> if ( dom a = U. dom a , ( ( suc U. ran U. ran a .o ( rank ` b ) ) +o ( ( a ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) o. ( a ` U. dom a ) ) " b ) ) ) ) ) -> recs ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ) = recs ( ( a e. _V |-> ( b e. ( R1 ` dom a ) |-> if ( dom a = U. dom a , ( ( suc U. ran U. ran a .o ( rank ` b ) ) +o ( ( a ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) o. ( a ` U. dom a ) ) " b ) ) ) ) ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- recs ( ( x e. _V |-> ( y e. ( R1 ` dom x ) |-> if ( dom x = U. dom x , ( ( suc U. ran U. ran x .o ( rank ` y ) ) +o ( ( x ` suc ( rank ` y ) ) ` y ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( x ` U. dom x ) ) o. ( x ` U. dom x ) ) " y ) ) ) ) ) ) = recs ( ( a e. _V |-> ( b e. ( R1 ` dom a ) |-> if ( dom a = U. dom a , ( ( suc U. ran U. ran a .o ( rank ` b ) ) +o ( ( a ` suc ( rank ` b ) ) ` b ) ) , ( f ` ( ( `'OrdIso ( _E , ran ( a ` U. dom a ) ) o. ( a ` U. dom a ) ) " b ) ) ) ) ) )
58	10, 16, 57	dfac12lem3 8967	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-onto-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) /\ z e. On ) -> ( R1 ` z ) e. dom card )
59	58	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-onto-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) -> ( z e. On -> ( R1 ` z ) e. dom card ) )
60	59	exlimiv 1858	. . . . . . . . 9 |- ( E. f f : ~P (har ` ( R1 ` z ) ) -1-1-onto-> ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) -> ( z e. On -> ( R1 ` z ) e. dom card ) )
61	9, 60	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ~~ ( card ` ~P (har ` ( R1 ` z ) ) ) -> ( z e. On -> ( R1 ` z ) e. dom card ) )
62	6, 7, 8, 61	4syl 19	. . . . . . 7 |- ( A. x e. On ~P x e. dom card -> ( z e. On -> ( R1 ` z ) e. dom card ) )
63	62	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. On ~P x e. dom card /\ z e. On ) -> ( R1 ` z ) e. dom card )
64		r1suc 8633	. . . . . . . . 9 |- ( z e. On -> ( R1 ` suc z ) = ~P ( R1 ` z ) )
65	64	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. On ~P x e. dom card /\ z e. On ) -> ( R1 ` suc z ) = ~P ( R1 ` z ) )
66	65	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. On ~P x e. dom card /\ z e. On ) -> ( y e. ( R1 ` suc z ) <-> y e. ~P ( R1 ` z ) ) )
67		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P ( R1 ` z ) -> y C_ ( R1 ` z ) )
68	66, 67	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. On ~P x e. dom card /\ z e. On ) -> ( y e. ( R1 ` suc z ) -> y C_ ( R1 ` z ) ) )
69		ssnum 8862	. . . . . 6 |- ( ( ( R1 ` z ) e. dom card /\ y C_ ( R1 ` z ) ) -> y e. dom card )
70	63, 68, 69	syl6an 568	. . . . 5 |- ( ( A. x e. On ~P x e. dom card /\ z e. On ) -> ( y e. ( R1 ` suc z ) -> y e. dom card ) )
71	70	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( A. x e. On ~P x e. dom card -> ( E. z e. On y e. ( R1 ` suc z ) -> y e. dom card ) )
72	1, 71	syl5bi 232	. . 3 |- ( A. x e. On ~P x e. dom card -> ( y e. U. ( R1 " On ) -> y e. dom card ) )
73	72	ssrdv 3609	. 2 |- ( A. x e. On ~P x e. dom card -> U. ( R1 " On ) C_ dom card )
74		onwf 8693	. . . . . 6 |- On C_ U. ( R1 " On )
75	74	sseli 3599	. . . . 5 |- ( x e. On -> x e. U. ( R1 " On ) )
76		pwwf 8670	. . . . 5 |- ( x e. U. ( R1 " On ) <-> ~P x e. U. ( R1 " On ) )
77	75, 76	sylib 208	. . . 4 |- ( x e. On -> ~P x e. U. ( R1 " On ) )
78		ssel 3597	. . . 4 |- ( U. ( R1 " On ) C_ dom card -> ( ~P x e. U. ( R1 " On ) -> ~P x e. dom card ) )
79	77, 78	syl5 34	. . 3 |- ( U. ( R1 " On ) C_ dom card -> ( x e. On -> ~P x e. dom card ) )
80	79	ralrimiv 2965	. 2 |- ( U. ( R1 " On ) C_ dom card -> A. x e. On ~P x e. dom card )
81	73, 80	impbii 199	1 |- ( A. x e. On ~P x e. dom card <-> U. ( R1 " On ) C_ dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  recscrecs 7467   +o coa 7557   .o comu 7558   ~~ cen 7952  OrdIsocoi 8414  harchar 8461   R1cr1 8625   rankcrnk 8626   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-oi 8415  df-har 8463  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765

This theorem is referenced by:  dfac12a  8970