Theorem ltbwe 19472

Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltbval.c	|- C = ( T <bag I )
ltbval.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
ltbval.i	|- ( ph -> I e. V )
ltbval.t	|- ( ph -> T e. W )
ltbwe.w	|- ( ph -> T We I )

Assertion

Ref	Expression
ltbwe	|- ( ph -> C We D )

Distinct variable groups:   h, I   ph, h

Allowed substitution hints:   C( h)   D( h)   T( h)   V( h)   W( h)

Proof of Theorem ltbwe

Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } = { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
2		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( h = x -> ( h finSupp 0 <-> x finSupp 0 ) )
3	2	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } = { x e. ( NN0 ^m I ) | x finSupp 0 }
4		ltbwe.w	. . . . 5 |- ( ph -> T We I )
5		nn0uz 11722	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		ltweuz 12760	. . . . . . 7 |- < We ( ZZ>= ` 0 )
7		weeq2 5103	. . . . . . 7 |- ( NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) -> ( < We NN0 <-> < We ( ZZ>= ` 0 ) ) )
8	6, 7	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) -> < We NN0 )
9	5, 8	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> < We NN0 )
10		0nn0 11307	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
11		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 0 e. NN0 -> NN0 =/= (/) )
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> NN0 =/= (/) )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- OrdIso ( T , I ) = OrdIso ( T , I )
14		0z 11388	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
15		hashgval2 13167	. . . . . . 7 |- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
16	14, 15	om2uzoi 12754	. . . . . 6 |- ( # |` om ) = OrdIso ( < , ( ZZ>= ` 0 ) )
17		oieq2 8418	. . . . . . 7 |- ( NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) -> OrdIso ( < , NN0 ) = OrdIso ( < , ( ZZ>= ` 0 ) ) )
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 |- OrdIso ( < , NN0 ) = OrdIso ( < , ( ZZ>= ` 0 ) )
19	16, 18	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- ( # |` om ) = OrdIso ( < , NN0 )
20		peano1 7085	. . . . . . 7 |- (/) e. om
21		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( (/) e. om -> ( ( # |` om ) ` (/) ) = ( # ` (/) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( # |` om ) ` (/) ) = ( # ` (/) )
23		hash0 13158	. . . . . 6 |- ( # ` (/) ) = 0
24	22, 23	eqtr2i 2645	. . . . 5 |- 0 = ( ( # |` om ) ` (/) )
25	1, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24	wemapwe 8594	. . . 4 |- ( ph -> { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } We { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } )
26		ltbval.d	. . . . . 6 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
27		elmapfun 7881	. . . . . . . . . 10 |- ( h e. ( NN0 ^m I ) -> Fun h )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h e. ( NN0 ^m I ) ) -> Fun h )
29		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h e. ( NN0 ^m I ) ) -> h e. ( NN0 ^m I ) )
30		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h e. ( NN0 ^m I ) ) -> 0 e. _V )
32		funisfsupp 8280	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun h /\ h e. ( NN0 ^m I ) /\ 0 e. _V ) -> ( h finSupp 0 <-> ( h supp 0 ) e. Fin ) )
33	28, 29, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( h finSupp 0 <-> ( h supp 0 ) e. Fin ) )
34		ltbval.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. V )
35		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( NN0 ^m I ) -> h : I --> NN0 )
36		frnnn0supp 11349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ h : I --> NN0 ) -> ( h supp 0 ) = ( `' h " NN ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ h : I --> NN0 ) -> ( ( h supp 0 ) e. Fin <-> ( `' h " NN ) e. Fin ) )
38	34, 35, 37	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( h supp 0 ) e. Fin <-> ( `' h " NN ) e. Fin ) )
39	33, 38	bitr2d 269	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( `' h " NN ) e. Fin <-> h finSupp 0 ) )
40	39	rabbidva 3188	. . . . . 6 |- ( ph -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } )
41	26, 40	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> D = { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } )
42		weeq2 5103	. . . . 5 |- ( D = { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } -> ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } We D <-> { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } We { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) )
43	41, 42	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } We D <-> { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } We { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) )
44	25, 43	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } We D )
45		weinxp 5186	. . 3 |- ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } We D <-> ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i ( D X. D ) ) We D )
46	44, 45	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i ( D X. D ) ) We D )
47		ltbval.c	. . . . 5 |- C = ( T <bag I )
48		ltbval.t	. . . . 5 |- ( ph -> T e. W )
49	47, 26, 34, 48	ltbval 19471	. . . 4 |- ( ph -> C = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ D /\ E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) } )
50		df-xp 5120	. . . . . . 7 |- ( D X. D ) = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y e. D ) }
51		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
52		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
53	51, 52	prss 4351	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) <-> { x , y } C_ D )
54	53	opabbii 4717	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | ( x e. D /\ y e. D ) } = { <. x , y >. | { x , y } C_ D }
55	50, 54	eqtr2i 2645	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | { x , y } C_ D } = ( D X. D )
56	55	ineq1i 3810	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | { x , y } C_ D } i^i { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } ) = ( ( D X. D ) i^i { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } )
57		inopab 5252	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | { x , y } C_ D } i^i { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } ) = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ D /\ E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) }
58		incom 3805	. . . . 5 |- ( ( D X. D ) i^i { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } ) = ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i ( D X. D ) )
59	56, 57, 58	3eqtr3i 2652	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ D /\ E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) } = ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i ( D X. D ) )
60	49, 59	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ph -> C = ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i ( D X. D ) ) )
61		weeq1 5102	. . 3 |- ( C = ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i ( D X. D ) ) -> ( C We D <-> ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i ( D X. D ) ) We D ) )
62	60, 61	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( C We D <-> ( { <. x , y >. | E. z e. I ( ( x ` z ) < ( y ` z ) /\ A. w e. I ( z T w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i ( D X. D ) ) We D ) )
63	46, 62	mpbird 247	1 |- ( ph -> C We D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   We wwe 5072   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414   0cc0 9936   < clt 10074   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   #chash 13117   <_bag cltb 19354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-ltbag 19359

This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  19485