Theorem omopth 7738

Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 13057. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)

Assertion

Ref	Expression
omopth	|- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ ( C e. om /\ D e. om ) ) -> ( ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) <-> ( A = C /\ B = D ) ) )

Proof of Theorem omopth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> ( A +o B ) = ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) )
2	1, 1	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) = ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) ) )
3	2	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) = ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) ) +o B ) )
4	3	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> ( ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) <-> ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) ) +o B ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) ) )
5		eqeq1 2626	. . . 4 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> ( A = C <-> if ( A e. om , A , (/) ) = C ) )
6	5	anbi1d 741	. . 3 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> ( ( A = C /\ B = D ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = C /\ B = D ) ) )
7	4, 6	bibi12d 335	. 2 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> ( ( ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) <-> ( A = C /\ B = D ) ) <-> ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) ) +o B ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = C /\ B = D ) ) ) )
8		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) = ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) )
9	8, 8	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) ) = ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) )
10		id 22	. . . . 5 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> B = if ( B e. om , B , (/) ) )
11	9, 10	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) ) +o B ) = ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) )
12	11	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) ) +o B ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) <-> ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) ) )
13		eqeq1 2626	. . . 4 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> ( B = D <-> if ( B e. om , B , (/) ) = D ) )
14	13	anbi2d 740	. . 3 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> ( ( if ( A e. om , A , (/) ) = C /\ B = D ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = C /\ if ( B e. om , B , (/) ) = D ) ) )
15	12, 14	bibi12d 335	. 2 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> ( ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) ) +o B ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = C /\ B = D ) ) <-> ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = C /\ if ( B e. om , B , (/) ) = D ) ) ) )
16		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( C = if ( C e. om , C , (/) ) -> ( C +o D ) = ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) )
17	16, 16	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( C = if ( C e. om , C , (/) ) -> ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) = ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) ) )
18	17	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( C = if ( C e. om , C , (/) ) -> ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) = ( ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) ) +o D ) )
19	18	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( C = if ( C e. om , C , (/) ) -> ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) <-> ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) ) +o D ) ) )
20		eqeq2 2633	. . . 4 |- ( C = if ( C e. om , C , (/) ) -> ( if ( A e. om , A , (/) ) = C <-> if ( A e. om , A , (/) ) = if ( C e. om , C , (/) ) ) )
21	20	anbi1d 741	. . 3 |- ( C = if ( C e. om , C , (/) ) -> ( ( if ( A e. om , A , (/) ) = C /\ if ( B e. om , B , (/) ) = D ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = if ( C e. om , C , (/) ) /\ if ( B e. om , B , (/) ) = D ) ) )
22	19, 21	bibi12d 335	. 2 |- ( C = if ( C e. om , C , (/) ) -> ( ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = C /\ if ( B e. om , B , (/) ) = D ) ) <-> ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) ) +o D ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = if ( C e. om , C , (/) ) /\ if ( B e. om , B , (/) ) = D ) ) ) )
23		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( D = if ( D e. om , D , (/) ) -> ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) = ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) )
24	23, 23	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( D = if ( D e. om , D , (/) ) -> ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) ) = ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) ) )
25		id 22	. . . . 5 |- ( D = if ( D e. om , D , (/) ) -> D = if ( D e. om , D , (/) ) )
26	24, 25	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( D = if ( D e. om , D , (/) ) -> ( ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) ) +o D ) = ( ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) )
27	26	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( D = if ( D e. om , D , (/) ) -> ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) ) +o D ) <-> ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) ) )
28		eqeq2 2633	. . . 4 |- ( D = if ( D e. om , D , (/) ) -> ( if ( B e. om , B , (/) ) = D <-> if ( B e. om , B , (/) ) = if ( D e. om , D , (/) ) ) )
29	28	anbi2d 740	. . 3 |- ( D = if ( D e. om , D , (/) ) -> ( ( if ( A e. om , A , (/) ) = if ( C e. om , C , (/) ) /\ if ( B e. om , B , (/) ) = D ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = if ( C e. om , C , (/) ) /\ if ( B e. om , B , (/) ) = if ( D e. om , D , (/) ) ) ) )
30	27, 29	bibi12d 335	. 2 |- ( D = if ( D e. om , D , (/) ) -> ( ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o D ) ) +o D ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = if ( C e. om , C , (/) ) /\ if ( B e. om , B , (/) ) = D ) ) <-> ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = if ( C e. om , C , (/) ) /\ if ( B e. om , B , (/) ) = if ( D e. om , D , (/) ) ) ) ) )
31		peano1 7085	. . . 4 |- (/) e. om
32	31	elimel 4150	. . 3 |- if ( A e. om , A , (/) ) e. om
33	31	elimel 4150	. . 3 |- if ( B e. om , B , (/) ) e. om
34	31	elimel 4150	. . 3 |- if ( C e. om , C , (/) ) e. om
35	31	elimel 4150	. . 3 |- if ( D e. om , D , (/) ) e. om
36	32, 33, 34, 35	omopthi 7737	. 2 |- ( ( ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) .o ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) = ( ( ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) .o ( if ( C e. om , C , (/) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) ) +o if ( D e. om , D , (/) ) ) <-> ( if ( A e. om , A , (/) ) = if ( C e. om , C , (/) ) /\ if ( B e. om , B , (/) ) = if ( D e. om , D , (/) ) ) )
37	7, 15, 22, 30, 36	dedth4h 4142	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ ( C e. om /\ D e. om ) ) -> ( ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) = ( ( ( C +o D ) .o ( C +o D ) ) +o D ) <-> ( A = C /\ B = D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   ifcif 4086  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557   .o comu 7558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565

This theorem is referenced by: (None)