Theorem onnseq 7441

Description: There are no length om decreasing sequences in the ordinals. See also noinfep 8557 for a stronger version assuming Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onnseq	|- ( ( F ` (/) ) e. On -> E. x e. om -. ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem onnseq

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 6983	. . . . . 6 |- _E We On
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> _E We On )
3		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( F ` y ) = ( F ` (/) ) )
4	3	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( ( F ` y ) e. On <-> ( F ` (/) ) e. On ) )
5		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
6	5	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) e. On <-> ( F ` z ) e. On ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = suc z -> ( F ` y ) = ( F ` suc z ) )
8	7	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( y = suc z -> ( ( F ` y ) e. On <-> ( F ` suc z ) e. On ) )
9		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> ( F ` (/) ) e. On )
10		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> suc x = suc z )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( F ` suc x ) = ( F ` suc z ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
13	11, 12	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) <-> ( F ` suc z ) e. ( F ` z ) ) )
14	13	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. om -> ( A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) -> ( F ` suc z ) e. ( F ` z ) ) )
15		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. On /\ ( F ` suc z ) e. ( F ` z ) ) -> ( F ` suc z ) e. On )
16	15	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` suc z ) e. ( F ` z ) -> ( ( F ` z ) e. On -> ( F ` suc z ) e. On ) )
17	14, 16	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. om -> ( A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) -> ( ( F ` z ) e. On -> ( F ` suc z ) e. On ) ) )
18	17	adantld 483	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. om -> ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> ( ( F ` z ) e. On -> ( F ` suc z ) e. On ) ) )
19	4, 6, 8, 9, 18	finds2 7094	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> ( F ` y ) e. On ) )
20	19	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> ( y e. om -> ( F ` y ) e. On ) )
21	20	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> A. y e. om ( F ` y ) e. On )
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. om |-> ( F ` y ) ) = ( y e. om |-> ( F ` y ) )
23	22	fmpt 6381	. . . . . . 7 |- ( A. y e. om ( F ` y ) e. On <-> ( y e. om |-> ( F ` y ) ) : om --> On )
24	21, 23	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> ( y e. om |-> ( F ` y ) ) : om --> On )
25		frn 6053	. . . . . 6 |- ( ( y e. om |-> ( F ` y ) ) : om --> On -> ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) C_ On )
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) C_ On )
27		peano1 7085	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
28		fdm 6051	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om |-> ( F ` y ) ) : om --> On -> dom ( y e. om |-> ( F ` y ) ) = om )
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> dom ( y e. om |-> ( F ` y ) ) = om )
30	27, 29	syl5eleqr 2708	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> (/) e. dom ( y e. om |-> ( F ` y ) ) )
31		ne0i 3921	. . . . . . 7 |- ( (/) e. dom ( y e. om |-> ( F ` y ) ) -> dom ( y e. om |-> ( F ` y ) ) =/= (/) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> dom ( y e. om |-> ( F ` y ) ) =/= (/) )
33		dm0rn0 5342	. . . . . . 7 |- ( dom ( y e. om |-> ( F ` y ) ) = (/) <-> ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) = (/) )
34	33	necon3bii 2846	. . . . . 6 |- ( dom ( y e. om |-> ( F ` y ) ) =/= (/) <-> ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) =/= (/) )
35	32, 34	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) =/= (/) )
36		wefrc 5108	. . . . 5 |- ( ( _E We On /\ ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) C_ On /\ ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) =/= (/) ) -> E. z e. ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i z ) = (/) )
37	2, 26, 35, 36	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> E. z e. ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i z ) = (/) )
38		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( F ` w ) e. _V
39	38	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. w e. om ( F ` w ) e. _V
40		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
41	40	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( y e. om |-> ( F ` y ) ) = ( w e. om |-> ( F ` w ) )
42		ineq2 3808	. . . . . . 7 |- ( z = ( F ` w ) -> ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i z ) = ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i ( F ` w ) ) )
43	42	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( z = ( F ` w ) -> ( ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i z ) = (/) <-> ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i ( F ` w ) ) = (/) ) )
44	41, 43	rexrnmpt 6369	. . . . 5 |- ( A. w e. om ( F ` w ) e. _V -> ( E. z e. ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i z ) = (/) <-> E. w e. om ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i ( F ` w ) ) = (/) ) )
45	39, 44	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. z e. ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i z ) = (/) <-> E. w e. om ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i ( F ` w ) ) = (/) )
46	37, 45	sylib 208	. . 3 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> E. w e. om ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i ( F ` w ) ) = (/) )
47		peano2 7086	. . . . . . . . 9 |- ( w e. om -> suc w e. om )
48	47	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) /\ w e. om ) -> suc w e. om )
49		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( F ` suc w ) = ( F ` suc w )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = suc w -> ( F ` y ) = ( F ` suc w ) )
51	50	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( y = suc w -> ( ( F ` suc w ) = ( F ` y ) <-> ( F ` suc w ) = ( F ` suc w ) ) )
52	51	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( suc w e. om /\ ( F ` suc w ) = ( F ` suc w ) ) -> E. y e. om ( F ` suc w ) = ( F ` y ) )
53	48, 49, 52	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) /\ w e. om ) -> E. y e. om ( F ` suc w ) = ( F ` y ) )
54		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( F ` suc w ) e. _V
55	22	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` suc w ) e. _V -> ( ( F ` suc w ) e. ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) <-> E. y e. om ( F ` suc w ) = ( F ` y ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( F ` suc w ) e. ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) <-> E. y e. om ( F ` suc w ) = ( F ` y ) )
57	53, 56	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) /\ w e. om ) -> ( F ` suc w ) e. ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) )
58		suceq 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> suc x = suc w )
59	58	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( F ` suc x ) = ( F ` suc w ) )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
61	59, 60	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) <-> ( F ` suc w ) e. ( F ` w ) ) )
62	61	rspccva 3308	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) /\ w e. om ) -> ( F ` suc w ) e. ( F ` w ) )
63	62	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) /\ w e. om ) -> ( F ` suc w ) e. ( F ` w ) )
64		inelcm 4032	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` suc w ) e. ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) /\ ( F ` suc w ) e. ( F ` w ) ) -> ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i ( F ` w ) ) =/= (/) )
65	57, 63, 64	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) /\ w e. om ) -> ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i ( F ` w ) ) =/= (/) )
66	65	neneqd 2799	. . . 4 |- ( ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) /\ w e. om ) -> -. ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i ( F ` w ) ) = (/) )
67	66	nrexdv 3001	. . 3 |- ( ( ( F ` (/) ) e. On /\ A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) ) -> -. E. w e. om ( ran ( y e. om |-> ( F ` y ) ) i^i ( F ` w ) ) = (/) )
68	46, 67	pm2.65da 600	. 2 |- ( ( F ` (/) ) e. On -> -. A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) )
69		rexnal 2995	. 2 |- ( E. x e. om -. ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) <-> -. A. x e. om ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) )
70	68, 69	sylibr 224	1 |- ( ( F ` (/) ) e. On -> E. x e. om -. ( F ` suc x ) e. ( F ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   We wwe 5072   dom cdm 5114   ran crn 5115   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-om 7066

This theorem is referenced by: (None)