Theorem ordtypelem3 8425

Description: Lemma for ordtype 8437. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtypelem.1	|- F = recs ( G )
ordtypelem.2	|- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
ordtypelem.3	|- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
ordtypelem.5	|- T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6	|- O = OrdIso ( R , A )
ordtypelem.7	|- ( ph -> R We A )
ordtypelem.8	|- ( ph -> R Se A )

Assertion

Ref	Expression
ordtypelem3	|- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( F ` M ) e. { v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } | A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v } )

Distinct variable groups:   v, u, C   h, j, t, u, v, w, x, z, M   R, h, j, t, u, v, w, x, z   A, h, j, t, u, v, w, x, z   t, O, u, v, x   ph, t, x   h, F, j, t, u, v, w, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w, v, u, h, j)   C( x, z, w, t, h, j)   T( x, z, w, v, u, t, h, j)   G( x, z, w, v, u, t, h, j)   O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3834	. . . . 5 |- ( T i^i dom F ) C_ dom F
2		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> M e. ( T i^i dom F ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> M e. dom F )
4		ordtypelem.1	. . . . 5 |- F = recs ( G )
5	4	tfr2a 7491	. . . 4 |- ( M e. dom F -> ( F ` M ) = ( G ` ( F |` M ) ) )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( F ` M ) = ( G ` ( F |` M ) ) )
7	4	tfr1a 7490	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F /\ Lim dom F )
8	7	simpri 478	. . . . . . . 8 |- Lim dom F
9		limord 5784	. . . . . . . 8 |- ( Lim dom F -> Ord dom F )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Ord dom F
11		ordelord 5745	. . . . . . 7 |- ( ( Ord dom F /\ M e. dom F ) -> Ord M )
12	10, 3, 11	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> Ord M )
13	4	tfr2b 7492	. . . . . 6 |- ( Ord M -> ( M e. dom F <-> ( F |` M ) e. _V ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( M e. dom F <-> ( F |` M ) e. _V ) )
15	3, 14	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( F |` M ) e. _V )
16		ordtypelem.2	. . . . . . 7 |- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
17		rneq 5351	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( F |` M ) -> ran h = ran ( F |` M ) )
18		df-ima 5127	. . . . . . . . . 10 |- ( F " M ) = ran ( F |` M )
19	17, 18	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( F |` M ) -> ran h = ( F " M ) )
20	19	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( h = ( F |` M ) -> ( A. j e. ran h j R w <-> A. j e. ( F " M ) j R w ) )
21	20	rabbidv 3189	. . . . . . 7 |- ( h = ( F |` M ) -> { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } )
22	16, 21	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( h = ( F |` M ) -> C = { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } )
23	22	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( h = ( F |` M ) -> ( A. u e. C -. u R v <-> A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) )
24	22, 23	riotaeqbidv 6614	. . . . 5 |- ( h = ( F |` M ) -> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) )
25		ordtypelem.3	. . . . 5 |- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
26		riotaex 6615	. . . . 5 |- ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) e. _V
27	24, 25, 26	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( ( F |` M ) e. _V -> ( G ` ( F |` M ) ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) )
28	15, 27	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( G ` ( F |` M ) ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) )
29	6, 28	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( F ` M ) = ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) )
30		ordtypelem.7	. . . . 5 |- ( ph -> R We A )
31	30	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> R We A )
32		ordtypelem.8	. . . . 5 |- ( ph -> R Se A )
33	32	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> R Se A )
34		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } C_ A
35	34	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } C_ A )
36		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( T i^i dom F ) C_ T
37	36, 2	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> M e. T )
38		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( F " x ) = ( F " M ) )
39	38	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( A. z e. ( F " x ) z R t <-> A. z e. ( F " M ) z R t ) )
40	39	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t <-> E. t e. A A. z e. ( F " M ) z R t ) )
41		ordtypelem.5	. . . . . . . . 9 |- T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t }
42	40, 41	elrab2 3366	. . . . . . . 8 |- ( M e. T <-> ( M e. On /\ E. t e. A A. z e. ( F " M ) z R t ) )
43	42	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( M e. T -> E. t e. A A. z e. ( F " M ) z R t )
44	37, 43	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> E. t e. A A. z e. ( F " M ) z R t )
45		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( j = z -> ( j R w <-> z R w ) )
46	45	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. ( F " M ) j R w <-> A. z e. ( F " M ) z R w )
47		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( w = t -> ( z R w <-> z R t ) )
48	47	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( w = t -> ( A. z e. ( F " M ) z R w <-> A. z e. ( F " M ) z R t ) )
49	46, 48	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( w = t -> ( A. j e. ( F " M ) j R w <-> A. z e. ( F " M ) z R t ) )
50	49	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. w e. A A. j e. ( F " M ) j R w <-> E. t e. A A. z e. ( F " M ) z R t )
51	44, 50	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> E. w e. A A. j e. ( F " M ) j R w )
52		rabn0 3958	. . . . 5 |- ( { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } =/= (/) <-> E. w e. A A. j e. ( F " M ) j R w )
53	51, 52	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } =/= (/) )
54		wereu2 5111	. . . 4 |- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } C_ A /\ { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } =/= (/) ) ) -> E! v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v )
55	31, 33, 35, 53, 54	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> E! v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v )
56		riotacl2 6624	. . 3 |- ( E! v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) e. { v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } | A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v } )
57	55, 56	syl 17	. 2 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v ) e. { v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } | A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v } )
58	29, 57	eqeltrd 2701	1 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( F ` M ) e. { v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } | A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Se wse 5071   We wwe 5072   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   iota_crio 6610  recscrecs 7467  OrdIsocoi 8414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468

This theorem is referenced by:  ordtypelem4  8426  ordtypelem6  8428  ordtypelem7  8429