Theorem ordtypelem6 8428

Description: Lemma for ordtype 8437. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtypelem.1	|- F = recs ( G )
ordtypelem.2	|- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
ordtypelem.3	|- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
ordtypelem.5	|- T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6	|- O = OrdIso ( R , A )
ordtypelem.7	|- ( ph -> R We A )
ordtypelem.8	|- ( ph -> R Se A )

Assertion

Ref	Expression
ordtypelem6	|- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> ( N e. M -> ( O ` N ) R ( O ` M ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, C   h, j, t, u, v, w, x, z, M   j, N, u, w   R, h, j, t, u, v, w, x, z   A, h, j, t, u, v, w, x, z   t, O, u, v, x   ph, t, x   h, F, j, t, u, v, w, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w, v, u, h, j)   C( x, z, w, t, h, j)   T( x, z, w, v, u, t, h, j)   G( x, z, w, v, u, t, h, j)   N( x, z, v, t, h)   O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem6

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> N e. M )
2		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } | A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v } C_ { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w }
3		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> M e. dom O )
4		ordtypelem.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = recs ( G )
5		ordtypelem.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
6		ordtypelem.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
7		ordtypelem.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t }
8		ordtypelem.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- O = OrdIso ( R , A )
9		ordtypelem.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R We A )
10		ordtypelem.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R Se A )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ordtypelem4 8426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> O : ( T i^i dom F ) --> A )
12		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( O : ( T i^i dom F ) --> A -> dom O = ( T i^i dom F ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom O = ( T i^i dom F ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> dom O = ( T i^i dom F ) )
15	3, 14	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> M e. ( T i^i dom F ) )
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ordtypelem3 8425	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M e. ( T i^i dom F ) ) -> ( F ` M ) e. { v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } | A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v } )
17	15, 16	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> ( F ` M ) e. { v e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } | A. u e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -. u R v } )
18	2, 17	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> ( F ` M ) e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } )
19		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( F ` M ) -> ( j R w <-> j R ( F ` M ) ) )
20	19	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( F ` M ) -> ( A. j e. ( F " M ) j R w <-> A. j e. ( F " M ) j R ( F ` M ) ) )
21	20	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` M ) e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } <-> ( ( F ` M ) e. A /\ A. j e. ( F " M ) j R ( F ` M ) ) )
22	21	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( ( F ` M ) e. { w e. A | A. j e. ( F " M ) j R w } -> A. j e. ( F " M ) j R ( F ` M ) )
23	18, 22	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> A. j e. ( F " M ) j R ( F ` M ) )
24	4	tfr1a 7490	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F /\ Lim dom F )
25	24	simpli 474	. . . . . . . 8 |- Fun F
26		funfn 5918	. . . . . . . 8 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
27	25, 26	mpbi 220	. . . . . . 7 |- F Fn dom F
28	24	simpri 478	. . . . . . . . 9 |- Lim dom F
29		limord 5784	. . . . . . . . 9 |- ( Lim dom F -> Ord dom F )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- Ord dom F
31		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( T i^i dom F ) C_ dom F
32	13, 31	syl6eqss 3655	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom O C_ dom F )
33	32	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> M e. dom F )
34		ordelss 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord dom F /\ M e. dom F ) -> M C_ dom F )
35	30, 33, 34	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> M C_ dom F )
36		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( j = ( F ` a ) -> ( j R ( F ` M ) <-> ( F ` a ) R ( F ` M ) ) )
37	36	ralima 6498	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn dom F /\ M C_ dom F ) -> ( A. j e. ( F " M ) j R ( F ` M ) <-> A. a e. M ( F ` a ) R ( F ` M ) ) )
38	27, 35, 37	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> ( A. j e. ( F " M ) j R ( F ` M ) <-> A. a e. M ( F ` a ) R ( F ` M ) ) )
39	23, 38	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> A. a e. M ( F ` a ) R ( F ` M ) )
40	39	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> A. a e. M ( F ` a ) R ( F ` M ) )
41		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( a = N -> ( F ` a ) = ( F ` N ) )
42	41	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( a = N -> ( ( F ` a ) R ( F ` M ) <-> ( F ` N ) R ( F ` M ) ) )
43	42	rspcv 3305	. . . 4 |- ( N e. M -> ( A. a e. M ( F ` a ) R ( F ` M ) -> ( F ` N ) R ( F ` M ) ) )
44	1, 40, 43	sylc 65	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> ( F ` N ) R ( F ` M ) )
45	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ordtypelem1 8423	. . . . . 6 |- ( ph -> O = ( F |` T ) )
46	45	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> O = ( F |` T ) )
47	46	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> ( O ` N ) = ( ( F |` T ) ` N ) )
48	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ordtypelem2 8424	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Ord T )
49	48	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> Ord T )
50		inss1 3833	. . . . . . . . . 10 |- ( T i^i dom F ) C_ T
51	13, 50	syl6eqss 3655	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom O C_ T )
52	51	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> M e. T )
53	52	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> M e. T )
54		ordelss 5739	. . . . . . 7 |- ( ( Ord T /\ M e. T ) -> M C_ T )
55	49, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> M C_ T )
56	55, 1	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> N e. T )
57		fvres 6207	. . . . 5 |- ( N e. T -> ( ( F |` T ) ` N ) = ( F ` N ) )
58	56, 57	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> ( ( F |` T ) ` N ) = ( F ` N ) )
59	47, 58	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> ( O ` N ) = ( F ` N ) )
60	46	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> ( O ` M ) = ( ( F |` T ) ` M ) )
61		fvres 6207	. . . . 5 |- ( M e. T -> ( ( F |` T ) ` M ) = ( F ` M ) )
62	53, 61	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> ( ( F |` T ) ` M ) = ( F ` M ) )
63	60, 62	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> ( O ` M ) = ( F ` M ) )
64	44, 59, 63	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( ph /\ ( M e. dom O /\ N e. M ) ) -> ( O ` N ) R ( O ` M ) )
65	64	expr 643	1 |- ( ( ph /\ M e. dom O ) -> ( N e. M -> ( O ` N ) R ( O ` M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Se wse 5071   We wwe 5072   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  recscrecs 7467  OrdIsocoi 8414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-oi 8415

This theorem is referenced by:  ordtypelem8  8430