Theorem pclcmpatN 35187

Description: The set of projective subspaces is compactly atomistic: if an atom is in the projective subspace closure of a set of atoms, it also belongs to the projective subspace closure of a finite subset of that set. Analogous to Lemma 3.3.10 of [PtakPulmannova] p. 74. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclfin.a	|- A = ( Atoms ` K )
pclfin.c	|- U = ( PCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
pclcmpatN	|- ( ( K e. AtLat /\ X C_ A /\ P e. ( U ` X ) ) -> E. y e. Fin ( y C_ X /\ P e. ( U ` y ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, U   y, K   y, X   y, P

Proof of Theorem pclcmpatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclfin.a	. . . . . 6 |- A = ( Atoms ` K )
2		pclfin.c	. . . . . 6 |- U = ( PCl ` K )
3	1, 2	pclfinN 35186	. . . . 5 |- ( ( K e. AtLat /\ X C_ A ) -> ( U ` X ) = U_ y e. ( Fin i^i ~P X ) ( U ` y ) )
4	3	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( K e. AtLat /\ X C_ A ) -> ( P e. ( U ` X ) <-> P e. U_ y e. ( Fin i^i ~P X ) ( U ` y ) ) )
5		eliun 4524	. . . 4 |- ( P e. U_ y e. ( Fin i^i ~P X ) ( U ` y ) <-> E. y e. ( Fin i^i ~P X ) P e. ( U ` y ) )
6	4, 5	syl6bb 276	. . 3 |- ( ( K e. AtLat /\ X C_ A ) -> ( P e. ( U ` X ) <-> E. y e. ( Fin i^i ~P X ) P e. ( U ` y ) ) )
7		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( y e. ( Fin i^i ~P X ) <-> ( y e. Fin /\ y e. ~P X ) )
8		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
9	8	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ y e. ~P X ) -> ( y e. Fin /\ y C_ X ) )
10	7, 9	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( y e. ( Fin i^i ~P X ) -> ( y e. Fin /\ y C_ X ) )
11	10	anim1i 592	. . . . 5 |- ( ( y e. ( Fin i^i ~P X ) /\ P e. ( U ` y ) ) -> ( ( y e. Fin /\ y C_ X ) /\ P e. ( U ` y ) ) )
12		anass 681	. . . . 5 |- ( ( ( y e. Fin /\ y C_ X ) /\ P e. ( U ` y ) ) <-> ( y e. Fin /\ ( y C_ X /\ P e. ( U ` y ) ) ) )
13	11, 12	sylib 208	. . . 4 |- ( ( y e. ( Fin i^i ~P X ) /\ P e. ( U ` y ) ) -> ( y e. Fin /\ ( y C_ X /\ P e. ( U ` y ) ) ) )
14	13	reximi2 3010	. . 3 |- ( E. y e. ( Fin i^i ~P X ) P e. ( U ` y ) -> E. y e. Fin ( y C_ X /\ P e. ( U ` y ) ) )
15	6, 14	syl6bi 243	. 2 |- ( ( K e. AtLat /\ X C_ A ) -> ( P e. ( U ` X ) -> E. y e. Fin ( y C_ X /\ P e. ( U ` y ) ) ) )
16	15	3impia 1261	1 |- ( ( K e. AtLat /\ X C_ A /\ P e. ( U ` X ) ) -> E. y e. Fin ( y C_ X /\ P e. ( U ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   ` cfv 5888   Fincfn 7955   Atomscatm 34550   AtLatcal 34551   PClcpclN 35173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-psubsp 34789  df-pclN 35174

This theorem is referenced by: (None)