Theorem peano5nni 11023

Description: Peano's inductive postulate. Theorem I.36 (principle of mathematical induction) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
peano5nni	|- ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> NN C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem peano5nni

Dummy variables n y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nn 11021	. . 3 |- NN = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) " om )
2		df-ima 5127	. . 3 |- ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) " om ) = ran ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
3	1, 2	eqtri 2644	. 2 |- NN = ran ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
4		frfnom 7530	. . . . 5 |- ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) Fn om
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) Fn om )
6		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` (/) ) )
7	6	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` y ) e. A <-> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` (/) ) e. A ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) )
9	8	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` y ) e. A <-> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) e. A ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = suc z -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` suc z ) )
11	10	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( y = suc z -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` y ) e. A <-> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` suc z ) e. A ) )
12		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
13		fr0g 7531	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. CC -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` (/) ) = 1 )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` (/) ) = 1
15		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> 1 e. A )
16	14, 15	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` (/) ) e. A )
17		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) -> ( x + 1 ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) )
18	17	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) -> ( ( x + 1 ) e. A <-> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) e. A ) )
19	18	rspccv 3306	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( x + 1 ) e. A -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) e. A -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) e. A ) )
20	19	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ z e. om ) -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) e. A -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) e. A ) )
21		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) e. _V
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
23		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = n -> ( y + 1 ) = ( n + 1 ) )
24		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) -> ( y + 1 ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) )
25	22, 23, 24	frsucmpt2 7535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. om /\ ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) e. _V ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` suc z ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) )
26	21, 25	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. om -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` suc z ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. om -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` suc z ) e. A <-> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) e. A ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ z e. om ) -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` suc z ) e. A <-> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) + 1 ) e. A ) )
29	20, 28	sylibrd 249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ z e. om ) -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) e. A -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` suc z ) e. A ) )
30	29	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( z e. om -> ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` z ) e. A -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` suc z ) e. A ) ) )
31	7, 9, 11, 16, 30	finds2 7094	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` y ) e. A ) )
32	31	com12 32	. . . . 5 |- ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( y e. om -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` y ) e. A ) )
33	32	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> A. y e. om ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` y ) e. A )
34		ffnfv 6388	. . . 4 |- ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) : om --> A <-> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) Fn om /\ A. y e. om ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) ` y ) e. A ) )
35	5, 33, 34	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) : om --> A )
36		frn 6053	. . 3 |- ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) : om --> A -> ran ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) C_ A )
37	35, 36	syl 17	. 2 |- ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ran ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om ) C_ A )
38	3, 37	syl5eqss 3649	1 |- ( ( 1 e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> NN C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  nnssre  11024  dfnn2  11033  nnind  11038  nnindf  29565