Theorem nnind 11038

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. See nnaddcl 11042 for an example of its use. See nn0ind 11472 for induction on nonnegative integers and uzind 11469, uzind4 11746 for induction on an arbitrary upper set of integers. See indstr 11756 for strong induction. See also nnindALT 11039. This is an alternative for Metamath 100 proof #74. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnind.1	|- ( x = 1 -> ( ph <-> ps ) )
nnind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
nnind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
nnind.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
nnind.5	|- ps
nnind.6	|- ( y e. NN -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
nnind	|- ( A e. NN -> ta )

Distinct variable groups:   x, y   x, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem nnind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11031	. . . . . 6 |- 1 e. NN
2		nnind.5	. . . . . 6 |- ps
3		nnind.1	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ph <-> ps ) )
4	3	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( 1 e. { x e. NN | ph } <-> ( 1 e. NN /\ ps ) )
5	1, 2, 4	mpbir2an 955	. . . . 5 |- 1 e. { x e. NN | ph }
6		elrabi 3359	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. NN | ph } -> y e. NN )
7		peano2nn 11032	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. NN )
8	7	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. NN ) )
9		nnind.6	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ch -> th ) )
10	8, 9	anim12d 586	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( y e. NN /\ ch ) -> ( ( y + 1 ) e. NN /\ th ) ) )
11		nnind.2	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
12	11	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( y e. { x e. NN | ph } <-> ( y e. NN /\ ch ) )
13		nnind.3	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
14	13	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( ( y + 1 ) e. { x e. NN | ph } <-> ( ( y + 1 ) e. NN /\ th ) )
15	10, 12, 14	3imtr4g 285	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( y e. { x e. NN | ph } -> ( y + 1 ) e. { x e. NN | ph } ) )
16	6, 15	mpcom 38	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. NN | ph } -> ( y + 1 ) e. { x e. NN | ph } )
17	16	rgen 2922	. . . . 5 |- A. y e. { x e. NN | ph } ( y + 1 ) e. { x e. NN | ph }
18		peano5nni 11023	. . . . 5 |- ( ( 1 e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } ( y + 1 ) e. { x e. NN | ph } ) -> NN C_ { x e. NN | ph } )
19	5, 17, 18	mp2an 708	. . . 4 |- NN C_ { x e. NN | ph }
20	19	sseli 3599	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. { x e. NN | ph } )
21		nnind.4	. . . 4 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
22	21	elrab 3363	. . 3 |- ( A e. { x e. NN | ph } <-> ( A e. NN /\ ta ) )
23	20, 22	sylib 208	. 2 |- ( A e. NN -> ( A e. NN /\ ta ) )
24	23	simprd 479	1 |- ( A e. NN -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  nnindALT  11039  nn1m1nn  11040  nnaddcl  11042  nnmulcl  11043  nnge1  11046  nnsub  11059  nneo  11461  peano5uzi  11466  nn0ind-raph  11477  ser1const  12857  expcllem  12871  expeq0  12890  seqcoll  13248  relexpsucnnl  13772  relexpcnv  13775  relexprelg  13778  relexpnndm  13781  relexpaddnn  13791  climcndslem2  14582  sqrt2irr  14979  gcdmultiple  15269  rplpwr  15276  prmind2  15398  prmdvdsexp  15427  eulerthlem2  15487  pcmpt  15596  prmpwdvds  15608  vdwlem10  15694  mulgnnass  17576  mulgnnassOLD  17577  imasdsf1olem  22178  ovolunlem1a  23264  ovolicc2lem3  23287  voliunlem1  23318  volsup  23324  dvexp  23716  plyco  23997  dgrcolem1  24029  vieta1  24067  emcllem6  24727  bposlem5  25013  2sqlem10  25153  dchrisum0flb  25199  iuninc  29379  nnindd  29566  ofldchr  29814  nexple  30071  esumfzf  30131  rrvsum  30516  subfacp1lem6  31167  cvmliftlem10  31276  bcprod  31624  faclimlem1  31629  incsequz  33544  bfplem1  33621  2nn0ind  37510  expmordi  37512  relexpxpnnidm  37995  relexpss1d  37997  iunrelexpmin1  38000  relexpmulnn  38001  trclrelexplem  38003  iunrelexpmin2  38004  relexp0a  38008  cotrcltrcl  38017  trclimalb2  38018  cotrclrcl  38034  inductionexd  38453  fmuldfeq  39815  dvnmptconst  40156  stoweidlem20  40237  wallispilem4  40285  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  dirkertrigeqlem1  40315  iccelpart  41369  nn0sumshdiglem2  42416