Theorem pimrecltneg 40933

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with negative upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltneg.x	|- F/ x ph
pimrecltneg.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
pimrecltneg.n	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B =/= 0 )
pimrecltneg.c	|- ( ph -> C e. RR )
pimrecltneg.l	|- ( ph -> C < 0 )

Assertion

Ref	Expression
pimrecltneg	|- ( ph -> { x e. A | ( 1 / B ) < C } = { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } )

Proof of Theorem pimrecltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltneg.x	. . 3 |- F/ x ph
2		rabidim1 3117	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } -> x e. A )
3	2	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> x e. A )
4		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. RR )
5		pimrecltneg.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
6		pimrecltneg.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C < 0 )
7	5, 6	ltned 10173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C =/= 0 )
8	4, 5, 7	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / C ) e. RR )
9	8	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / C ) e. RR* )
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> ( 1 / C ) e. RR* )
11		0xr 10086	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> 0 e. RR* )
13		pimrecltneg.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
14	2, 13	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> B e. RR )
15		rabidim2 39284	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } -> ( 1 / B ) < C )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> ( 1 / B ) < C )
17	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> 1 e. RR )
18		pimrecltneg.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B =/= 0 )
19	3, 18	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> B =/= 0 )
20	14, 19	rereccld 10852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> ( 1 / B ) e. RR )
21	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> C e. RR )
22		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> 0 e. RR )
23	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> C < 0 )
24	20, 21, 22, 16, 23	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> ( 1 / B ) < 0 )
25	14, 19	reclt0 39614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> ( B < 0 <-> ( 1 / B ) < 0 ) )
26	24, 25	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> B < 0 )
27	17, 14, 26, 21, 23	ltdiv23neg 39617	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> ( ( 1 / B ) < C <-> ( 1 / C ) < B ) )
28	16, 27	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> ( 1 / C ) < B )
29	10, 12, 14, 28, 26	eliood 39720	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) )
30	3, 29	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> ( x e. A /\ B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) ) )
31		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } <-> ( x e. A /\ B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) ) )
32	30, 31	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } )
33	32	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } -> x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) )
34	31	simplbi 476	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } -> x e. A )
35	34	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> x e. A )
36	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> ( 1 / C ) e. RR* )
37	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> 0 e. RR* )
38	31	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } -> B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) )
40	36, 37, 39	ioogtlbd 39777	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> ( 1 / C ) < B )
41	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> 1 e. RR )
42	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> C e. RR )
43	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> C < 0 )
44	35, 13	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> B e. RR )
45	36, 37, 39	iooltubd 39771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> B < 0 )
46	41, 42, 43, 44, 45	ltdiv23neg 39617	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> ( ( 1 / C ) < B <-> ( 1 / B ) < C ) )
47	40, 46	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> ( 1 / B ) < C )
48	35, 47	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> ( x e. A /\ ( 1 / B ) < C ) )
49		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } <-> ( x e. A /\ ( 1 / B ) < C ) )
50	48, 49	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) -> x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } )
51	50	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } -> x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) )
52	33, 51	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } <-> x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) )
53	1, 52	alrimi 2082	. 2 |- ( ph -> A. x ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } <-> x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) )
54		nfrab1 3122	. . 3 |- F/_ x { x e. A | ( 1 / B ) < C }
55		nfrab1 3122	. . 3 |- F/_ x { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) }
56	54, 55	dfcleqf 39255	. 2 |- ( { x e. A | ( 1 / B ) < C } = { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } <-> A. x ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } <-> x e. { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } ) )
57	53, 56	sylibr 224	1 |- ( ph -> { x e. A | ( 1 / B ) < C } = { x e. A | B e. ( ( 1 / C ) (,) 0 ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   / cdiv 10684   (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  smfrec  40996