Theorem redivcld 10853

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
redivcld.2	|- ( ph -> B e. RR )
redivcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
redivcld	|- ( ph -> ( A / B ) e. RR )

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		redivcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		redivcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		redivcl 10744	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. RR )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> ( A / B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  recp1lt1  10921  ledivp1  10925  supmul1  10992  rimul  11011  div4p1lem1div2  11287  divelunit  12314  fldiv4p1lem1div2  12636  fldiv4lem1div2uz2  12637  quoremz  12654  intfracq  12658  fldiv  12659  modmulnn  12688  modmuladd  12712  modmuladdnn0  12714  expnbnd  12993  discr1  13000  discr  13001  sqreulem  14099  fprodle  14727  fldivndvdslt  15138  flodddiv4t2lthalf  15140  iccpnfhmeo  22744  ipcau2  23033  mbfmulc2lem  23414  i1fmulc  23470  itg1mulc  23471  itg2monolem3  23519  dvferm2lem  23749  dvcvx  23783  radcnvlem1  24167  tanord1  24283  logf1o2  24396  relogbcl  24511  ang180lem2  24540  chordthmlem2  24560  jensenlem2  24714  regamcl  24787  gausslemma2dlem0d  25084  gausslemma2dlem3  25093  gausslemma2dlem4  25094  gausslemma2dlem5  25096  2lgslem1a2  25115  2lgslem1  25119  2lgslem2  25120  2lgsoddprmlem2  25134  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  ostth2  25326  ttgcontlem1  25765  colinearalg  25790  axsegconlem8  25804  axpaschlem  25820  axeuclidlem  25842  nmophmi  28890  unitdivcld  29947  dya2icoseg  30339  dya2iocucvr  30346  signsply0  30628  logdivsqrle  30728  hgt750lem  30729  hgt750leme  30736  tgoldbachgtde  30738  sinccvglem  31566  circum  31568  knoppndvlem1  32503  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem15  32517  knoppndvlem17  32519  knoppndvlem18  32520  knoppndvlem19  32521  knoppndvlem21  32523  poimirlem31  33440  itg2addnclem  33461  itg2addnclem2  33462  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  pellexlem1  37393  pellexlem6  37398  reglogcl  37454  modabsdifz  37553  areaquad  37802  imo72b2  38475  hashnzfzclim  38521  sineq0ALT  39173  suplesup  39555  reclt0d  39607  xrralrecnnge  39613  ltdiv23neg  39617  iooiinioc  39783  0ellimcdiv  39881  dvdivbd  40138  ioodvbdlimc1lem1  40146  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  stoweidlem1  40218  stoweidlem13  40230  stoweidlem26  40243  stoweidlem34  40251  stoweidlem36  40253  stoweidlem51  40268  stoweidlem60  40277  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  stirlingr  40307  dirker2re  40309  dirkerval2  40311  dirkerre  40312  dirkertrigeq  40318  dirkeritg  40319  dirkercncflem1  40320  dirkercncflem4  40323  fourierdlem4  40328  fourierdlem7  40331  fourierdlem9  40333  fourierdlem16  40340  fourierdlem19  40343  fourierdlem21  40345  fourierdlem22  40346  fourierdlem24  40348  fourierdlem26  40350  fourierdlem30  40354  fourierdlem39  40363  fourierdlem41  40365  fourierdlem42  40366  fourierdlem43  40367  fourierdlem47  40370  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem51  40374  fourierdlem56  40379  fourierdlem57  40380  fourierdlem58  40381  fourierdlem59  40382  fourierdlem63  40386  fourierdlem64  40387  fourierdlem66  40389  fourierdlem71  40394  fourierdlem72  40395  fourierdlem78  40401  fourierdlem83  40406  fourierdlem87  40410  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem95  40418  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  etransclem48  40499  qndenserrnbllem  40514  sge0rpcpnf  40638  sge0ad2en  40648  ovnsubaddlem1  40784  hoidmvlelem3  40811  ovolval5lem1  40866  ovolval5lem2  40867  vonioolem2  40895  vonicclem2  40898  pimrecltneg  40933  smfrec  40996  smfdiv  41004  sigardiv  41050  lighneallem2  41523  modn0mul  42315  refdivmptf  42336  fldivexpfllog2  42359  dignnld  42397  dig2nn1st  42399  dig2bits  42408  dignn0flhalflem2  42410