Theorem ltned 10173

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltned.2	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltned	|- ( ph -> A =/= B )

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltned.2	. . 3 |- ( ph -> A < B )
3	1, 2	gtned 10172	. 2 |- ( ph -> B =/= A )
4	3	necomd 2849	1 |- ( ph -> A =/= B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   RRcr 9935   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  12505  modsumfzodifsn  12743  seqf1olem1  12840  nprm  15401  4sqlem10  15651  4sqlem17  15665  pgpfaclem2  18481  fvmptnn04ifb  20656  dvferm2lem  23749  lhop2  23778  ftc1lem5  23803  deg1tmle  23877  plyeq0lem  23966  aaliou3lem7  24104  dvloglem  24394  isosctrlem1  24548  bndatandm  24656  vma1  24892  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  axlowdimlem13  25834  axlowdimlem16  25837  strlem6  29115  hstrlem6  29123  pmtrto1cl  29849  psgnfzto1stlem  29850  1smat1  29870  submateqlem1  29873  submateqlem2  29874  madjusmdetlem2  29894  xrge0iifcnv  29979  reprlt  30697  reprgt  30699  reprinfz1  30700  erdszelem8  31180  ivthALT  32330  knoppndvlem1  32503  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem7  32509  knoppndvlem21  32523  poimirlem1  33410  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem9  33418  poimirlem15  33424  poimirlem22  33431  radcnvrat  38513  isosctrlem1ALT  39170  ltdiv23neg  39617  lptre2pt  39872  cncfiooicclem1  40106  cncfioobdlem  40109  ditgeqiooicc  40176  itgioocnicc  40193  iblcncfioo  40194  stirlinglem7  40297  fourierdlem34  40358  fourierdlem42  40366  fourierdlem54  40377  fourierdlem60  40383  fourierdlem73  40396  fourierdlem74  40397  fourierdlem76  40399  fourierdlem81  40404  fourierdlem82  40405  fourierdlem84  40407  fourierdlem93  40416  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434  fourierswlem  40447  pimrecltneg  40933