Theorem reclt0 39614

Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclt0.1	|- ( ph -> A e. RR )
reclt0.2	|- ( ph -> A =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
reclt0	|- ( ph -> ( A < 0 <-> ( 1 / A ) < 0 ) )

Proof of Theorem reclt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclt0.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> A e. RR )
3		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> A < 0 )
4	2, 3	reclt0d 39607	. . 3 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( 1 / A ) < 0 )
5	4	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A < 0 -> ( 1 / A ) < 0 ) )
6		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. A < 0 ) -> 0 e. RR )
7	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. A < 0 ) -> A e. RR )
8		reclt0.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A =/= 0 )
9	8	necomd 2849	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 =/= A )
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. A < 0 ) -> 0 =/= A )
11		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. A < 0 ) -> -. A < 0 )
12	6, 7, 10, 11	lttri5d 39513	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A < 0 ) -> 0 < A )
13		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < A ) -> 0 e. RR )
14	1, 8	rereccld 10852	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. RR )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < A ) -> ( 1 / A ) e. RR )
16	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < A ) -> A e. RR )
17		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < A ) -> 0 < A )
18	16, 17	recgt0d 10958	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < A ) -> 0 < ( 1 / A ) )
19	13, 15, 18	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < A ) -> 0 <_ ( 1 / A ) )
20	13, 15	lenltd 10183	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < A ) -> ( 0 <_ ( 1 / A ) <-> -. ( 1 / A ) < 0 ) )
21	19, 20	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < A ) -> -. ( 1 / A ) < 0 )
22	12, 21	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A < 0 ) -> -. ( 1 / A ) < 0 )
23	22	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. A < 0 -> -. ( 1 / A ) < 0 ) )
24	23	con4d 114	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) < 0 -> A < 0 ) )
25	24	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ ( 1 / A ) < 0 ) -> A < 0 )
26	25	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) < 0 -> A < 0 ) )
27	5, 26	impbid 202	1 |- ( ph -> ( A < 0 <-> ( 1 / A ) < 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  pimrecltneg  40933  smfrec  40996