Theorem pmtrsn 17939

Description: The value of the transposition generator function for a singleton is empty, i.e. there is no transposition for a singleton. This also holds for A e/ _V, i.e. for the empty set { A } = (/) resulting in (pmTrsp ` (/) ) = (/). (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrsn	|- (pmTrsp ` { A } ) = (/)

Proof of Theorem pmtrsn

Dummy variables p y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4908	. . 3 |- { A } e. _V
2		eqid 2622	. . . 4 |- (pmTrsp ` { A } ) = (pmTrsp ` { A } )
3	2	pmtrfval 17870	. . 3 |- ( { A } e. _V -> (pmTrsp ` { A } ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (pmTrsp ` { A } ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
6	5	dmmpt 5630	. . . 4 |- dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V }
7		2on0 7569	. . . . . . . . 9 |- 2o =/= (/)
8		ensymb 8004	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
9		en0 8019	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
10	8, 9	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
11	7, 10	nemtbir 2889	. . . . . . . 8 |- -. (/) ~~ 2o
12		snnen2o 8149	. . . . . . . 8 |- -. { A } ~~ 2o
13		0ex 4790	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
14		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
15	14	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( -. y ~~ 2o <-> -. (/) ~~ 2o ) )
16		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( y = { A } -> ( y ~~ 2o <-> { A } ~~ 2o ) )
17	16	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( y = { A } -> ( -. y ~~ 2o <-> -. { A } ~~ 2o ) )
18	13, 1, 15, 17	ralpr 4238	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o <-> ( -. (/) ~~ 2o /\ -. { A } ~~ 2o ) )
19	11, 12, 18	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o
20		pwsn 4428	. . . . . . . 8 |- ~P { A } = { (/) , { A } }
21	20	raleqi 3142	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o <-> A. y e. { (/) , { A } } -. y ~~ 2o )
22	19, 21	mpbir 221	. . . . . 6 |- A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o
23		rabeq0 3957	. . . . . 6 |- ( { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/) <-> A. y e. ~P { A } -. y ~~ 2o )
24	22, 23	mpbir 221	. . . . 5 |- { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/)
25		rabeq 3192	. . . . 5 |- ( { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } = (/) -> { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 |- { p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V }
27		rab0 3955	. . . 4 |- { p e. (/) | ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) e. _V } = (/)
28	6, 26, 27	3eqtri 2648	. . 3 |- dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/)
29		funmpt 5926	. . . . 5 |- Fun ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
30		funrel 5905	. . . . 5 |- ( Fun ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) -> Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) )
32		reldm0 5343	. . . 4 |- ( Rel ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) -> ( ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) <-> dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) <-> dom ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/) )
34	28, 33	mpbir 221	. 2 |- ( p e. { y e. ~P { A } | y ~~ 2o } |-> ( z e. { A } |-> if ( z e. p , U. ( p \ { z } ) , z ) ) ) = (/)
35	4, 34	eqtri 2644	1 |- (pmTrsp ` { A } ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   2oc2o 7554   ~~ cen 7952  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  psgnsn  17940