Theorem psgnsn 17940

Description: The permutation sign function for a singleton. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnsn.0	|- D = { A }
psgnsn.g	|- G = ( SymGrp ` D )
psgnsn.b	|- B = ( Base ` G )
psgnsn.n	|- N = (pmSgn ` D )

Assertion

Ref	Expression
psgnsn	|- ( ( A e. V /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = 1 )

Proof of Theorem psgnsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
2	1	gsum0 17278	. . . 4 |- ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G )
3		psgnsn.g	. . . . . . . 8 |- G = ( SymGrp ` D )
4		psgnsn.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
5		psgnsn.0	. . . . . . . 8 |- D = { A }
6	3, 4, 5	symg1bas 17816	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> B = { { <. A , A >. } } )
7	6	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( X e. B <-> X e. { { <. A , A >. } } ) )
8	7	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ X e. B ) -> X e. { { <. A , A >. } } )
9		elsni 4194	. . . . . 6 |- ( X e. { { <. A , A >. } } -> X = { <. A , A >. } )
10	5	reseq2i 5393	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` D ) = ( _I |` { A } )
11		snex 4908	. . . . . . . . . . . . 13 |- { A } e. _V
12	11	snid 4208	. . . . . . . . . . . 12 |- { A } e. { { A } }
13	5, 12	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- D e. { { A } }
14	3	symgid 17821	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. { { A } } -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) )
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) )
16		restidsing 5458	. . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` { A } ) = ( { A } X. { A } )
17		xpsng 6406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ A e. V ) -> ( { A } X. { A } ) = { <. A , A >. } )
18	17	anidms 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( { A } X. { A } ) = { <. A , A >. } )
19	16, 18	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( _I |` { A } ) = { <. A , A >. } )
20	10, 15, 19	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( 0g ` G ) = { <. A , A >. } )
21	20	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ X e. B ) -> ( 0g ` G ) = { <. A , A >. } )
22		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( { <. A , A >. } = X -> { <. A , A >. } = X )
23	22	eqcoms 2630	. . . . . . . 8 |- ( X = { <. A , A >. } -> { <. A , A >. } = X )
24	21, 23	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( X = { <. A , A >. } /\ ( A e. V /\ X e. B ) ) -> ( 0g ` G ) = X )
25	24	ex 450	. . . . . 6 |- ( X = { <. A , A >. } -> ( ( A e. V /\ X e. B ) -> ( 0g ` G ) = X ) )
26	9, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( X e. { { <. A , A >. } } -> ( ( A e. V /\ X e. B ) -> ( 0g ` G ) = X ) )
27	8, 26	mpcom 38	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ X e. B ) -> ( 0g ` G ) = X )
28	2, 27	syl5req 2669	. . 3 |- ( ( A e. V /\ X e. B ) -> X = ( G gsumg (/) ) )
29	28	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( A e. V /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = ( N ` ( G gsumg (/) ) ) )
30	5, 11	eqeltri 2697	. . . 4 |- D e. _V
31		wrd0 13330	. . . 4 |- (/) e. Word (/)
32	30, 31	pm3.2i 471	. . 3 |- ( D e. _V /\ (/) e. Word (/) )
33	5	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- (pmTrsp ` D ) = (pmTrsp ` { A } )
34		pmtrsn 17939	. . . . . . 7 |- (pmTrsp ` { A } ) = (/)
35	33, 34	eqtri 2644	. . . . . 6 |- (pmTrsp ` D ) = (/)
36	35	rneqi 5352	. . . . 5 |- ran (pmTrsp ` D ) = ran (/)
37		rn0 5377	. . . . 5 |- ran (/) = (/)
38	36, 37	eqtr2i 2645	. . . 4 |- (/) = ran (pmTrsp ` D )
39		psgnsn.n	. . . 4 |- N = (pmSgn ` D )
40	3, 38, 39	psgnvalii 17929	. . 3 |- ( ( D e. _V /\ (/) e. Word (/) ) -> ( N ` ( G gsumg (/) ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` (/) ) ) )
41	32, 40	mp1i 13	. 2 |- ( ( A e. V /\ X e. B ) -> ( N ` ( G gsumg (/) ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` (/) ) ) )
42		hash0 13158	. . . . 5 |- ( # ` (/) ) = 0
43	42	oveq2i 6661	. . . 4 |- ( -u 1 ^ ( # ` (/) ) ) = ( -u 1 ^ 0 )
44		neg1cn 11124	. . . . 5 |- -u 1 e. CC
45		exp0 12864	. . . . 5 |- ( -u 1 e. CC -> ( -u 1 ^ 0 ) = 1 )
46	44, 45	ax-mp 5	. . . 4 |- ( -u 1 ^ 0 ) = 1
47	43, 46	eqtri 2644	. . 3 |- ( -u 1 ^ ( # ` (/) ) ) = 1
48	47	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. V /\ X e. B ) -> ( -u 1 ^ ( # ` (/) ) ) = 1 )
49	29, 41, 48	3eqtrd 2660	1 |- ( ( A e. V /\ X e. B ) -> ( N ` X ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   _I cid 5023   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   -ucneg 10267   ^cexp 12860   #chash 13117  Word cword 13291   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861  pmSgncpsgn 17909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911

This theorem is referenced by:  m1detdiag  20403