Theorem r1ordg 8641

Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
r1ordg	|- ( B e. dom R1 -> ( A e. B -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` B ) ) )

Proof of Theorem r1ordg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 |- ( ( B e. dom R1 /\ A e. B ) -> B e. dom R1 )
2		r1funlim 8629	. . . . . . . 8 |- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )
3	2	simpri 478	. . . . . . 7 |- Lim dom R1
4		limord 5784	. . . . . . 7 |- ( Lim dom R1 -> Ord dom R1 )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Ord dom R1
6		ordsson 6989	. . . . . 6 |- ( Ord dom R1 -> dom R1 C_ On )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom R1 C_ On
8	7	sseli 3599	. . . 4 |- ( B e. dom R1 -> B e. On )
9	1, 8	syl 17	. . 3 |- ( ( B e. dom R1 /\ A e. B ) -> B e. On )
10		onelon 5748	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
11	8, 10	sylan 488	. . . 4 |- ( ( B e. dom R1 /\ A e. B ) -> A e. On )
12		suceloni 7013	. . . 4 |- ( A e. On -> suc A e. On )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ( B e. dom R1 /\ A e. B ) -> suc A e. On )
14		eloni 5733	. . . . . 6 |- ( B e. On -> Ord B )
15		ordsucss 7018	. . . . . 6 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
17	16	imp 445	. . . 4 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> suc A C_ B )
18	8, 17	sylan 488	. . 3 |- ( ( B e. dom R1 /\ A e. B ) -> suc A C_ B )
19		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = suc A -> ( x e. dom R1 <-> suc A e. dom R1 ) )
20		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = suc A -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` suc A ) )
21	20	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( x = suc A -> ( ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) <-> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc A ) ) )
22	19, 21	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = suc A -> ( ( x e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) ) <-> ( suc A e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc A ) ) ) )
23		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. dom R1 <-> y e. dom R1 ) )
24		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` y ) )
25	24	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) <-> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) ) )
26	23, 25	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) ) <-> ( y e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) ) ) )
27		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x e. dom R1 <-> suc y e. dom R1 ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` suc y ) )
29	28	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) <-> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc y ) ) )
30	27, 29	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( x e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) ) <-> ( suc y e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc y ) ) ) )
31		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( x e. dom R1 <-> B e. dom R1 ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` B ) )
33	32	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) <-> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` B ) ) )
34	31, 33	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( x e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) ) <-> ( B e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` B ) ) ) )
35		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( R1 ` A ) e. _V
36	35	pwid 4174	. . . . . . 7 |- ( R1 ` A ) e. ~P ( R1 ` A )
37		limsuc 7049	. . . . . . . . 9 |- ( Lim dom R1 -> ( A e. dom R1 <-> suc A e. dom R1 ) )
38	3, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom R1 <-> suc A e. dom R1 )
39		r1sucg 8632	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom R1 -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )
40	38, 39	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( suc A e. dom R1 -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )
41	36, 40	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( suc A e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc A ) )
42	41	a1i 11	. . . . 5 |- ( suc A e. On -> ( suc A e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc A ) ) )
43		limsuc 7049	. . . . . . . 8 |- ( Lim dom R1 -> ( y e. dom R1 <-> suc y e. dom R1 ) )
44	3, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. dom R1 <-> suc y e. dom R1 )
45		r1tr 8639	. . . . . . . . . . 11 |- Tr ( R1 ` y )
46		dftr4 4757	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr ( R1 ` y ) <-> ( R1 ` y ) C_ ~P ( R1 ` y ) )
47	45, 46	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( R1 ` y ) C_ ~P ( R1 ` y )
48		r1sucg 8632	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. dom R1 -> ( R1 ` suc y ) = ~P ( R1 ` y ) )
49	47, 48	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . 9 |- ( y e. dom R1 -> ( R1 ` y ) C_ ( R1 ` suc y ) )
50	49	sseld 3602	. . . . . . . 8 |- ( y e. dom R1 -> ( ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc y ) ) )
51	50	a2i 14	. . . . . . 7 |- ( ( y e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) ) -> ( y e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc y ) ) )
52	44, 51	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ( y e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) ) -> ( suc y e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc y ) ) )
53	52	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( y e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ y ) -> ( ( y e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) ) -> ( suc y e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc y ) ) ) )
54		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> suc A C_ x )
55		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> suc A e. On )
56		sucelon 7017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. On <-> suc A e. On )
57	55, 56	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> A e. On )
58		limord 5784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Lim x -> Ord x )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> Ord x )
60		ordelsuc 7020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ Ord x ) -> ( A e. x <-> suc A C_ x ) )
61	57, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> ( A e. x <-> suc A C_ x ) )
62	54, 61	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> A e. x )
63		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
64	63	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
65	62, 64	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> suc A e. x )
66		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> x e. dom R1 )
67		ordtr1 5767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord dom R1 -> ( ( A e. x /\ x e. dom R1 ) -> A e. dom R1 ) )
68	5, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. x /\ x e. dom R1 ) -> A e. dom R1 )
69	62, 66, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> A e. dom R1 )
70	69, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )
71	36, 70	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc A ) )
72		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = suc A -> ( R1 ` y ) = ( R1 ` suc A ) )
73	72	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = suc A -> ( ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) <-> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc A ) ) )
74	73	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc A e. x /\ ( R1 ` A ) e. ( R1 ` suc A ) ) -> E. y e. x ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) )
75	65, 71, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> E. y e. x ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) )
76		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( ( R1 ` A ) e. U_ y e. x ( R1 ` y ) <-> E. y e. x ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) )
77	75, 76	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> ( R1 ` A ) e. U_ y e. x ( R1 ` y ) )
78		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> Lim x )
79		r1limg 8634	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom R1 /\ Lim x ) -> ( R1 ` x ) = U_ y e. x ( R1 ` y ) )
80	66, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> ( R1 ` x ) = U_ y e. x ( R1 ` y ) )
81	77, 80	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ x /\ x e. dom R1 ) ) -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) )
82	81	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( x e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) ) )
83	82	a1d 25	. . . . 5 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( A. y e. x ( suc A C_ y -> ( y e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` y ) ) ) -> ( x e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` x ) ) ) )
84	22, 26, 30, 34, 42, 53, 83	tfindsg 7060	. . . 4 |- ( ( ( B e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ B ) -> ( B e. dom R1 -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` B ) ) )
85	84	impr 649	. . 3 |- ( ( ( B e. On /\ suc A e. On ) /\ ( suc A C_ B /\ B e. dom R1 ) ) -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` B ) )
86	9, 13, 18, 1, 85	syl22anc 1327	. 2 |- ( ( B e. dom R1 /\ A e. B ) -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` B ) )
87	86	ex 450	1 |- ( B e. dom R1 -> ( A e. B -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   Tr wtr 4752   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   R1cr1 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627

This theorem is referenced by:  r1ord3g  8642  r1ord  8643