Theorem xrralrecnnge 39613

Description: Show that A is less than B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrralrecnnge.n	|- F/ n ph
xrralrecnnge.a	|- ( ph -> A e. RR )
xrralrecnnge.b	|- ( ph -> B e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
xrralrecnnge	|- ( ph -> ( A <_ B <-> A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem xrralrecnnge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrralrecnnge.n	. . . . 5 |- F/ n ph
2		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ n A <_ B
3	1, 2	nfan 1828	. . . 4 |- F/ n ( ph /\ A <_ B )
4		xrralrecnnge.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. RR )
6		nnrecre 11057	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
8	5, 7	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) e. RR )
9	8	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) e. RR* )
10	9	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) e. RR* )
11		xrralrecnnge.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
12	11	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> B e. RR* )
13	4	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> A e. RR* )
15		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
16	15	rpreccld 11882	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR+ )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR+ )
18	5, 17	ltsubrpd 11904	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) < A )
19	18	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) < A )
20		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> A <_ B )
21	10, 14, 12, 19, 20	xrltletrd 11992	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) < B )
22	10, 12, 21	xrltled 39486	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ n e. NN ) -> ( A - ( 1 / n ) ) <_ B )
23	22	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( n e. NN -> ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) )
24	3, 23	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B )
25	24	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B -> A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) )
26		pnfxr 10092	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> +oo e. RR* )
28	4	ltpnfd 11955	. . . . . . 7 |- ( ph -> A < +oo )
29	13, 27, 28	xrltled 39486	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ +oo )
30	29	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ B = +oo ) -> A <_ +oo )
31		id 22	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> B = +oo )
32	31	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> +oo = B )
33	32	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ B = +oo ) -> +oo = B )
34	30, 33	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ B = +oo ) -> A <_ B )
35	11	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ -. B = +oo ) -> B e. RR* )
36		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B -> 1 e. NN )
38		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B -> A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B )
39		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = ( 1 / 1 ) )
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( A - ( 1 / n ) ) = ( A - ( 1 / 1 ) ) )
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( ( A - ( 1 / n ) ) <_ B <-> ( A - ( 1 / 1 ) ) <_ B ) )
42	41	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. NN /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) -> ( A - ( 1 / 1 ) ) <_ B )
43	37, 38, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B -> ( A - ( 1 / 1 ) ) <_ B )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B /\ B = -oo ) -> ( A - ( 1 / 1 ) ) <_ B )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B /\ B = -oo ) -> B = -oo )
46	44, 45	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B /\ B = -oo ) -> ( A - ( 1 / 1 ) ) <_ -oo )
47	46	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ B = -oo ) -> ( A - ( 1 / 1 ) ) <_ -oo )
48		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. RR )
49		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 =/= 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 =/= 0 )
51	48, 48, 50	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 1 ) e. RR )
52	4, 51	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A - ( 1 / 1 ) ) e. RR )
53	52	mnfltd 11958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -oo < ( A - ( 1 / 1 ) ) )
54		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . 13 |- -oo e. RR*
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -oo e. RR* )
56	52	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A - ( 1 / 1 ) ) e. RR* )
57	55, 56	xrltnled 39579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -oo < ( A - ( 1 / 1 ) ) <-> -. ( A - ( 1 / 1 ) ) <_ -oo ) )
58	53, 57	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( A - ( 1 / 1 ) ) <_ -oo )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ B = -oo ) -> -. ( A - ( 1 / 1 ) ) <_ -oo )
60	47, 59	pm2.65da 600	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) -> -. B = -oo )
61	60	neqned 2801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) -> B =/= -oo )
62	61	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ -. B = +oo ) -> B =/= -oo )
63		neqne 2802	. . . . . . 7 |- ( -. B = +oo -> B =/= +oo )
64	63	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ -. B = +oo ) -> B =/= +oo )
65	35, 62, 64	xrred 39581	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ -. B = +oo ) -> B e. RR )
66		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n B e. RR
67	1, 66	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( ph /\ B e. RR )
68	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. RR ) -> A e. RR* )
69		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. RR ) -> B e. RR )
70	67, 68, 69	xrralrecnnle 39602	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )
71	5	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. RR ) /\ n e. NN ) -> A e. RR )
72	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
73	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. RR ) /\ n e. NN ) -> B e. RR )
74	71, 72, 73	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( A - ( 1 / n ) ) <_ B <-> A <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )
75	74	bicomd 213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( A <_ ( B + ( 1 / n ) ) <-> ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) )
76	67, 75	ralbida 2982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. RR ) -> ( A. n e. NN A <_ ( B + ( 1 / n ) ) <-> A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) )
77	70, 76	bitr2d 269	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. RR ) -> ( A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B <-> A <_ B ) )
78	77	biimpd 219	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. RR ) -> ( A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B -> A <_ B ) )
79	78	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B e. RR ) /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) -> A <_ B )
80	79	an32s 846	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ B e. RR ) -> A <_ B )
81	65, 80	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) /\ -. B = +oo ) -> A <_ B )
82	34, 81	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) -> A <_ B )
83	82	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B -> A <_ B ) )
84	25, 83	impbid 202	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> A. n e. NN ( A - ( 1 / n ) ) <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fl 12593

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