Theorem stcltr2i 29134

Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	|- ( ph <-> ( S e. States /\ A. x e. CH A. y e. CH ( ( ( S ` x ) = 1 -> ( S ` y ) = 1 ) -> x C_ y ) ) )
stcltr1.2	|- A e. CH

Assertion

Ref	Expression
stcltr2i	|- ( ph -> ( ( S ` A ) = 1 -> A = ~H ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, S, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem stcltr2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. . 3 |- ( ( S ` A ) = 1 -> ( ( S ` ~H ) = 1 -> ( S ` A ) = 1 ) )
2		stcltr1.1	. . . 4 |- ( ph <-> ( S e. States /\ A. x e. CH A. y e. CH ( ( ( S ` x ) = 1 -> ( S ` y ) = 1 ) -> x C_ y ) ) )
3		helch 28100	. . . 4 |- ~H e. CH
4		stcltr1.2	. . . 4 |- A e. CH
5	2, 3, 4	stcltr1i 29133	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( S ` ~H ) = 1 -> ( S ` A ) = 1 ) -> ~H C_ A ) )
6	1, 5	syl5 34	. 2 |- ( ph -> ( ( S ` A ) = 1 -> ~H C_ A ) )
7	4	chssii 28088	. . 3 |- A C_ ~H
8		eqss 3618	. . 3 |- ( A = ~H <-> ( A C_ ~H /\ ~H C_ A ) )
9	7, 8	mpbiran 953	. 2 |- ( A = ~H <-> ~H C_ A )
10	6, 9	syl6ibr 242	1 |- ( ph -> ( ( S ` A ) = 1 -> A = ~H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ` cfv 5888   1c1 9937   ~Hchil 27776   CHcch 27786   Statescst 27819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-map 7859  df-nn 11021  df-hlim 27829  df-sh 28064  df-ch 28078

This theorem is referenced by:  stcltrlem1  29135