Theorem helch 28100

Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
helch	|- ~H e. CH

Proof of Theorem helch

Dummy variables x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . . 4 |- ~H C_ ~H
2		ax-hv0cl 27860	. . . 4 |- 0h e. ~H
3	1, 2	pm3.2i 471	. . 3 |- ( ~H C_ ~H /\ 0h e. ~H )
4		hvaddcl 27869	. . . . 5 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x +h y ) e. ~H )
5	4	rgen2a 2977	. . . 4 |- A. x e. ~H A. y e. ~H ( x +h y ) e. ~H
6		hvmulcl 27870	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
7	6	rgen2 2975	. . . 4 |- A. x e. CC A. y e. ~H ( x .h y ) e. ~H
8	5, 7	pm3.2i 471	. . 3 |- ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x +h y ) e. ~H /\ A. x e. CC A. y e. ~H ( x .h y ) e. ~H )
9		issh2 28066	. . 3 |- ( ~H e. SH <-> ( ( ~H C_ ~H /\ 0h e. ~H ) /\ ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( x +h y ) e. ~H /\ A. x e. CC A. y e. ~H ( x .h y ) e. ~H ) ) )
10	3, 8, 9	mpbir2an 955	. 2 |- ~H e. SH
11		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
12	11	hlimveci 28047	. . . 4 |- ( f ~~>v x -> x e. ~H )
13	12	adantl 482	. . 3 |- ( ( f : NN --> ~H /\ f ~~>v x ) -> x e. ~H )
14	13	gen2 1723	. 2 |- A. f A. x ( ( f : NN --> ~H /\ f ~~>v x ) -> x e. ~H )
15		isch2 28080	. 2 |- ( ~H e. CH <-> ( ~H e. SH /\ A. f A. x ( ( f : NN --> ~H /\ f ~~>v x ) -> x e. ~H ) ) )
16	10, 14, 15	mpbir2an 955	1 |- ~H e. CH

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884  (class class class)co 6650   CCcc 9934   NNcn 11020   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   0hc0v 27781   ~~>v chli 27784   SHcsh 27785   CHcch 27786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-map 7859  df-nn 11021  df-hlim 27829  df-sh 28064  df-ch 28078

This theorem is referenced by:  ifchhv  28101  helsh  28102  ococin  28267  chj1i  28348  hne0  28406  pjch1  28529  pjo  28530  pjsslem  28538  ho0val  28609  dfiop2  28612  hoid1i  28648  hoid1ri  28649  pjtoi  29038  pjoci  29039  pjclem3  29056  hst0  29092  st0  29108  strlem3a  29111  hstrlem3a  29119  stcltr2i  29134