Theorem suplesup2 39592

Description: If any element of A is smaller or equal to an element in B, then the supremum of A is smaller or equal to the supremum of B. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplesup2.a	|- ( ph -> A C_ RR* )
suplesup2.b	|- ( ph -> B C_ RR* )
suplesup2.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x <_ y )

Assertion

Ref	Expression
suplesup2	|- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem suplesup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplesup2.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B x <_ y )
2		suplesup2.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ RR* )
3	2	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. RR* )
4	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B /\ x <_ y ) -> x e. RR* )
5		simp1l 1085	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B /\ x <_ y ) -> ph )
6		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B /\ x <_ y ) -> y e. B )
7		suplesup2.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ RR* )
8	7	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. RR* )
9	5, 6, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B /\ x <_ y ) -> y e. RR* )
10		supxrcl 12145	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ RR* -> sup ( B , RR* , < ) e. RR* )
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( B , RR* , < ) e. RR* )
12	5, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B /\ x <_ y ) -> sup ( B , RR* , < ) e. RR* )
13		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B /\ x <_ y ) -> x <_ y )
14	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> B C_ RR* )
15		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. B )
16		supxrub 12154	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ RR* /\ y e. B ) -> y <_ sup ( B , RR* , < ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y <_ sup ( B , RR* , < ) )
18	5, 6, 17	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B /\ x <_ y ) -> y <_ sup ( B , RR* , < ) )
19	4, 9, 12, 13, 18	xrletrd 11993	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. B /\ x <_ y ) -> x <_ sup ( B , RR* , < ) )
20	19	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y e. B -> ( x <_ y -> x <_ sup ( B , RR* , < ) ) ) )
21	20	rexlimdv 3030	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. y e. B x <_ y -> x <_ sup ( B , RR* , < ) ) )
22	1, 21	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x <_ sup ( B , RR* , < ) )
23	22	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) )
24		supxrleub 12156	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ sup ( B , RR* , < ) e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) ) )
25	2, 11, 24	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) <-> A. x e. A x <_ sup ( B , RR* , < ) ) )
26	23, 25	mpbird 247	1 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) <_ sup ( B , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   supcsup 8346   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  sge0reuz  40664