Theorem xrletrd 11993

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	|- ( ph -> A e. RR* )
xrlttrd.2	|- ( ph -> B e. RR* )
xrlttrd.3	|- ( ph -> C e. RR* )
xrletrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
xrletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		xrletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		xrlttrd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
4		xrlttrd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
5		xrlttrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR* )
6		xrletr 11989	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 715	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RR*cxr 10073   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  xaddge0  12088  ixxub  12196  ixxlb  12197  limsupval2  14211  0ram  15724  xpsdsval  22186  xblss2ps  22206  xblss2  22207  comet  22318  stdbdxmet  22320  nmoleub  22535  metnrmlem1  22662  nmoleub2lem  22914  ovollb2lem  23256  ovoliunlem2  23271  ovolscalem1  23281  ovolicc1  23284  ovolicc2lem4  23288  voliunlem2  23319  uniioombllem3  23353  itg2uba  23510  itg2lea  23511  itg2split  23516  itg2monolem3  23519  itg2gt0  23527  lhop1lem  23776  dvfsumlem2  23790  dvfsumlem3  23791  dvfsumlem4  23792  deg1addle2  23862  deg1sublt  23870  nmooge0  27622  metideq  29936  measiun  30281  omssubadd  30362  carsgclctunlem2  30381  mblfinlem1  33446  ismblfin  33450  ftc1anclem8  33492  ftc1anc  33493  hbtlem2  37694  idomodle  37774  xle2addd  39552  xralrple2  39570  infleinflem1  39586  xralrple4  39589  xralrple3  39590  suplesup2  39592  infleinf2  39641  infxrlesupxr  39663  inficc  39761  limsupequzlem  39954  limsupvaluz2  39970  supcnvlimsup  39972  liminfval2  40000  liminflelimsuplem  40007  limsupgtlem  40009  fourierdlem1  40325  sge0cl  40598  sge0lefi  40615  sge0iunmptlemre  40632  sge0isum  40644  omeunle  40730  omeiunle  40731  caratheodorylem2  40741  hoicvrrex  40770  ovnsubaddlem1  40784  ovolval5lem1  40866  pimdecfgtioo  40927  pimincfltioo  40928