Theorem supxrleub 12156

Description: The supremum of a set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
supxrleub	|- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ B <-> A. x e. A x <_ B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem supxrleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrlub 12155	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < sup ( A , RR* , < ) <-> E. x e. A B < x ) )
2	1	notbid 308	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. B < sup ( A , RR* , < ) <-> -. E. x e. A B < x ) )
3		ralnex 2992	. . 3 |- ( A. x e. A -. B < x <-> -. E. x e. A B < x )
4	2, 3	syl6bbr 278	. 2 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. B < sup ( A , RR* , < ) <-> A. x e. A -. B < x ) )
5		supxrcl 12145	. . 3 |- ( A C_ RR* -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
6		xrlenlt 10103	. . 3 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ B <-> -. B < sup ( A , RR* , < ) ) )
7	5, 6	sylan 488	. 2 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ B <-> -. B < sup ( A , RR* , < ) ) )
8		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> A C_ RR* )
9	8	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ x e. A ) -> x e. RR* )
10		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ x e. A ) -> B e. RR* )
11		xrlenlt 10103	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( x <_ B <-> -. B < x ) )
12	9, 10, 11	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) /\ x e. A ) -> ( x <_ B <-> -. B < x ) )
13	12	ralbidva 2985	. 2 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( A. x e. A x <_ B <-> A. x e. A -. B < x ) )
14	4, 7, 13	3bitr4d 300	1 |- ( ( A C_ RR* /\ B e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) <_ B <-> A. x e. A x <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   supcsup 8346   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  supxrre  12157  supxrss  12162  ixxub  12196  limsupgord  14203  limsupgle  14208  prdsxmetlem  22173  ovollb2lem  23256  ovolunlem1  23265  ovoliunlem2  23271  ovolscalem1  23281  ovolicc1  23284  voliunlem2  23319  voliunlem3  23320  uniioovol  23347  uniioombllem3  23353  volsup2  23373  itg2leub  23501  itg2seq  23509  itg2mono  23520  itg2gt0  23527  itg2cn  23530  mdegleb  23824  radcnvlt1  24172  nmoubi  27627  nmopub  28767  nmfnleub  28784  esumgect  30152  prdsbnd  33592  rrnequiv  33634  suplesup2  39592  supxrleubrnmpt  39632  limsupmnflem  39952  liminfval2  40000  sge0fsum  40604  sge0lefi  40615  sge0split  40626  pimdecfgtioo  40927  pimincfltioo  40928