Theorem sge0reuz 40664

Description: Value of the generalized sum of nonnegative reals, when the domain is a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0reuz.k	|- F/ k ph
sge0reuz.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sge0reuz.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
sge0reuz.b	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0reuz	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. Z |-> B ) ) = sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   B, n   k, M, n   k, Z, n   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem sge0reuz

Dummy variables x w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0reuz.k	. . 3 |- F/ k ph
2		sge0reuz.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> Z = ( ZZ>= ` M ) )
4		fvex 6201	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
5	3, 4	syl6eqel 2709	. . 3 |- ( ph -> Z e. _V )
6		sge0reuz.b	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
7	1, 5, 6	sge0revalmpt 40595	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. Z |-> B ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) , RR* , < ) )
8		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ x ph
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) = ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B )
10		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k x e. ( ~P Z i^i Fin )
11	1, 10	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) )
12		elinel2 3800	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) -> x e. Fin )
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
14		rge0ssre 12280	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
15		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ph )
16		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) -> x C_ Z )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ k e. x ) -> x C_ Z )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ k e. x ) -> k e. x )
19	17, 18	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ k e. x ) -> k e. Z )
20	19	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> k e. Z )
21	15, 20, 6	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
22	14, 21	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> B e. RR )
23	11, 13, 22	fsumreclf 39808	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. RR )
24	23	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. RR* )
25	8, 9, 24	rnmptssd 39385	. . . 4 |- ( ph -> ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) C_ RR* )
26		supxrcl 12145	. . . 4 |- ( ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) C_ RR* -> sup ( ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) , RR* , < ) e. RR* )
27	25, 26	syl 17	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) , RR* , < ) e. RR* )
28		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ n ph
29		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) = ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B )
30		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k n e. Z
31	1, 30	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph /\ n e. Z )
32		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( M ... n ) e. Fin )
33		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
34	33, 2	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. Z )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... n ) ) -> k e. Z )
36	14, 6	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
37	35, 36	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... n ) ) -> B e. RR )
38	37	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> B e. RR )
39	31, 32, 38	fsumreclf 39808	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> sum_ k e. ( M ... n ) B e. RR )
40	39	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> sum_ k e. ( M ... n ) B e. RR* )
41	28, 29, 40	rnmptssd 39385	. . . 4 |- ( ph -> ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) C_ RR* )
42		supxrcl 12145	. . . 4 |- ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) C_ RR* -> sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) e. RR* )
43	41, 42	syl 17	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) e. RR* )
44		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
45	9	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) <-> E. x e. ( ~P Z i^i Fin ) y = sum_ k e. x B ) )
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) <-> E. x e. ( ~P Z i^i Fin ) y = sum_ k e. x B )
47	46	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) -> E. x e. ( ~P Z i^i Fin ) y = sum_ k e. x B )
48	47	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) ) -> E. x e. ( ~P Z i^i Fin ) y = sum_ k e. x B )
49		sge0reuz.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
50	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ y = sum_ k e. x B ) -> M e. ZZ )
51	16	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ y = sum_ k e. x B ) -> x C_ Z )
52	13	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ y = sum_ k e. x B ) -> x e. Fin )
53	50, 2, 51, 52	uzfissfz 39542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ y = sum_ k e. x B ) -> E. n e. Z x C_ ( M ... n ) )
54		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ y = sum_ k e. x B )
55		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B )
56	55	nfrn 5368	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B )
57		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n y <_ w
58	56, 57	nfrex 3007	. . . . . . . . . 10 |- F/ n E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w
59		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z -> n e. Z )
60		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ k e. ( M ... n ) B e. _V
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z -> sum_ k e. ( M ... n ) B e. _V )
62	29	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. Z /\ sum_ k e. ( M ... n ) B e. _V ) -> sum_ k e. ( M ... n ) B e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) )
63	59, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> sum_ k e. ( M ... n ) B e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) )
64	63	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ n e. Z /\ x C_ ( M ... n ) ) -> sum_ k e. ( M ... n ) B e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) )
65		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ x C_ ( M ... n ) ) -> y = sum_ k e. x B )
66		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k y
67		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k x
68	67	nfsum1 14420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k sum_ k e. x B
69	66, 68	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k y = sum_ k e. x B
70	1, 69	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( ph /\ y = sum_ k e. x B )
71		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k x C_ ( M ... n )
72	70, 71	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ x C_ ( M ... n ) )
73		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ x C_ ( M ... n ) ) -> ( M ... n ) e. Fin )
74	37	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ x C_ ( M ... n ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> B e. RR )
75		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ x C_ ( M ... n ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ph )
76	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ x C_ ( M ... n ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> k e. Z )
77		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR*
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 e. RR* )
79		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- +oo e. RR*
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> +oo e. RR* )
81		icogelb 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 <_ B )
82	78, 80, 6, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
83	75, 76, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ x C_ ( M ... n ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> 0 <_ B )
84		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ x C_ ( M ... n ) ) -> x C_ ( M ... n ) )
85	72, 73, 74, 83, 84	fsumlessf 39809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ x C_ ( M ... n ) ) -> sum_ k e. x B <_ sum_ k e. ( M ... n ) B )
86	65, 85	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ x C_ ( M ... n ) ) -> y <_ sum_ k e. ( M ... n ) B )
87	86	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ n e. Z /\ x C_ ( M ... n ) ) -> y <_ sum_ k e. ( M ... n ) B )
88		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = sum_ k e. ( M ... n ) B -> ( y <_ w <-> y <_ sum_ k e. ( M ... n ) B ) )
89	88	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sum_ k e. ( M ... n ) B e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) /\ y <_ sum_ k e. ( M ... n ) B ) -> E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w )
90	64, 87, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) /\ n e. Z /\ x C_ ( M ... n ) ) -> E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w )
91	90	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y = sum_ k e. x B ) -> ( n e. Z -> ( x C_ ( M ... n ) -> E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w ) ) )
92	91	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ y = sum_ k e. x B ) -> ( n e. Z -> ( x C_ ( M ... n ) -> E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w ) ) )
93	54, 58, 92	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ y = sum_ k e. x B ) -> ( E. n e. Z x C_ ( M ... n ) -> E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w ) )
94	53, 93	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ y = sum_ k e. x B ) -> E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w )
95	94	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) -> ( y = sum_ k e. x B -> E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w ) ) )
96	95	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. x e. ( ~P Z i^i Fin ) y = sum_ k e. x B -> E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w ) )
97	96	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. x e. ( ~P Z i^i Fin ) y = sum_ k e. x B ) -> E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w )
98	48, 97	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) ) -> E. w e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ w )
99	25, 41, 98	suplesup2 39592	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) , RR* , < ) <_ sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) )
100	29	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) <-> E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B ) )
101	44, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) <-> E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B )
102	101	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) -> E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B )
103	102	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) ) -> E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B )
104	34	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M ... n ) C_ Z
105		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M ... n ) e. _V
106	105	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M ... n ) e. ~P Z <-> ( M ... n ) C_ Z )
107	104, 106	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ... n ) e. ~P Z
108		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ... n ) e. Fin
109	107, 108	elini 3797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M ... n ) e. ( ~P Z i^i Fin )
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> ( M ... n ) e. ( ~P Z i^i Fin ) )
111		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y = sum_ k e. ( M ... n ) B )
112		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( M ... n ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. ( M ... n ) B )
113	112	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( M ... n ) -> ( y = sum_ k e. x B <-> y = sum_ k e. ( M ... n ) B ) )
114	113	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M ... n ) e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ y = sum_ k e. ( M ... n ) B ) -> E. x e. ( ~P Z i^i Fin ) y = sum_ k e. x B )
115	110, 111, 114	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> E. x e. ( ~P Z i^i Fin ) y = sum_ k e. x B )
116	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y e. _V )
117	9, 115, 116	elrnmptd 39366	. . . . . . . . . 10 |- ( y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) )
118	117	2a1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. Z -> ( y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) ) ) )
119	118	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) ) )
120	119	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) ) -> ( E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) ) )
121	103, 120	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) ) -> y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) )
122	121	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) )
123		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) C_ ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) <-> A. y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y e. ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) )
124	122, 123	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) C_ ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) )
125		supxrss 12162	. . . 4 |- ( ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) C_ ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) /\ ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) C_ RR* ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) , RR* , < ) )
126	124, 25, 125	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) , RR* , < ) )
127	27, 43, 99, 126	xrletrid 11986	. 2 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P Z i^i Fin ) |-> sum_ k e. x B ) , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) )
128	7, 127	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. Z |-> B ) ) = sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   [,)cico 12177   ...cfz 12326   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0reuzb  40665