Theorem suprnmpt 39355

Description: An explicit bound for the range of a bounded function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprnmpt.a	|- ( ph -> A =/= (/) )
suprnmpt.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
suprnmpt.bnd	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y )
suprnmpt.f	|- F = ( x e. A |-> B )
suprnmpt.c	|- C = sup ( ran F , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
suprnmpt	|- ( ph -> ( C e. RR /\ A. x e. A B <_ C ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, F   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( y)   B( x, y)   C( x, y)   F( x)

Proof of Theorem suprnmpt

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprnmpt.c	. . 3 |- C = sup ( ran F , RR , < )
2		suprnmpt.b	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
3	2	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A B e. RR )
4		suprnmpt.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. A |-> B )
5	4	rnmptss 6392	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. RR -> ran F C_ RR )
6	3, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran F C_ RR )
7		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ x ph
8		nfmpt1 4747	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
9	4, 8	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 |- F/_ x F
10	9	nfrn 5368	. . . . . 6 |- F/_ x ran F
11		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x (/)
12	10, 11	nfne 2894	. . . . 5 |- F/ x ran F =/= (/)
13		suprnmpt.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= (/) )
14		n0 3931	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) <-> E. x x e. A )
15	13, 14	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> E. x x e. A )
16		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
17	4	elrnmpt1 5374	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ B e. RR ) -> B e. ran F )
18	16, 2, 17	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ran F )
19		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( B e. ran F -> ran F =/= (/) )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran F =/= (/) )
21	7, 12, 15, 20	exlimdd 2088	. . . 4 |- ( ph -> ran F =/= (/) )
22		suprnmpt.bnd	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y )
23		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ y ph
24		nfre1 3005	. . . . . 6 |- F/ y E. y e. RR A. z e. ran F z <_ y
25		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A B <_ y ) -> y e. RR )
26		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A B <_ y ) /\ z e. ran F ) -> ph )
27		simpl3 1066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A B <_ y ) /\ z e. ran F ) -> A. x e. A B <_ y )
28		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
29	4	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( z e. ran F <-> E. x e. A z = B ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ran F <-> E. x e. A z = B )
31	30	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ran F -> E. x e. A z = B )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A B <_ y ) /\ z e. ran F ) -> E. x e. A z = B )
33		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y /\ E. x e. A z = B ) -> E. x e. A z = B )
34		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x A. x e. A B <_ y
35		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x E. x e. A z = B
36	7, 34, 35	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ph /\ A. x e. A B <_ y /\ E. x e. A z = B )
37		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x z <_ y
38		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. x e. A B <_ y /\ x e. A /\ z = B ) -> z = B )
39		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. x e. A B <_ y /\ x e. A ) -> B <_ y )
40	39	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. x e. A B <_ y /\ x e. A /\ z = B ) -> B <_ y )
41	38, 40	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. x e. A B <_ y /\ x e. A /\ z = B ) -> z <_ y )
42	41	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. A B <_ y -> ( x e. A -> ( z = B -> z <_ y ) ) )
43	42	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y /\ E. x e. A z = B ) -> ( x e. A -> ( z = B -> z <_ y ) ) )
44	36, 37, 43	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y /\ E. x e. A z = B ) -> ( E. x e. A z = B -> z <_ y ) )
45	33, 44	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y /\ E. x e. A z = B ) -> z <_ y )
46	26, 27, 32, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A B <_ y ) /\ z e. ran F ) -> z <_ y )
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A B <_ y ) -> A. z e. ran F z <_ y )
48		19.8a 2052	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ A. z e. ran F z <_ y ) -> E. y ( y e. RR /\ A. z e. ran F z <_ y ) )
49	25, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A B <_ y ) -> E. y ( y e. RR /\ A. z e. ran F z <_ y ) )
50		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. RR A. z e. ran F z <_ y <-> E. y ( y e. RR /\ A. z e. ran F z <_ y ) )
51	49, 50	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A B <_ y ) -> E. y e. RR A. z e. ran F z <_ y )
52	51	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. RR -> ( A. x e. A B <_ y -> E. y e. RR A. z e. ran F z <_ y ) ) )
53	23, 24, 52	rexlimd 3026	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y -> E. y e. RR A. z e. ran F z <_ y ) )
54	22, 53	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR A. z e. ran F z <_ y )
55		suprcl 10983	. . . 4 |- ( ( ran F C_ RR /\ ran F =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran F z <_ y ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. RR )
56	6, 21, 54, 55	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran F , RR , < ) e. RR )
57	1, 56	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> C e. RR )
58	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran F C_ RR )
59	54	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. z e. ran F z <_ y )
60		suprub 10984	. . . . 5 |- ( ( ( ran F C_ RR /\ ran F =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran F z <_ y ) /\ B e. ran F ) -> B <_ sup ( ran F , RR , < ) )
61	58, 20, 59, 18, 60	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ sup ( ran F , RR , < ) )
62	61, 1	syl6breqr 4695	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ C )
63	62	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. A B <_ C )
64	57, 63	jca 554	1 |- ( ph -> ( C e. RR /\ A. x e. A B <_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   supcsup 8346   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem1  40146  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149