Theorem ioodvbdlimc2lem 40149

Description: Limit at the upper bound of an open interval, for a function with bounded derivative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioodvbdlimc2lem.a	|- ( ph -> A e. RR )
ioodvbdlimc2lem.b	|- ( ph -> B e. RR )
ioodvbdlimc2lem.altb	|- ( ph -> A < B )
ioodvbdlimc2lem.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
ioodvbdlimc2lem.dmdv	|- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc2lem.dvbd	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ y )
ioodvbdlimc2lem.y	|- Y = sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < )
ioodvbdlimc2lem.m	|- M = ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 )
ioodvbdlimc2lem.s	|- S = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) )
ioodvbdlimc2lem.r	|- R = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( B - ( 1 / j ) ) )
ioodvbdlimc2lem.n	|- N = if ( M <_ ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , M )
ioodvbdlimc2lem.ch	|- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ioodvbdlimc2lem	|- ( ph -> ( limsup ` S ) e. ( F lim CC B ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, z, y   B, j, x, z, y   j, F, x, z, y   j, M, x, y   j, N, z   R, j, x, y   x, S, j, y, z   x, Y   ph, x, j, z, y

Allowed substitution hints:   ch( x, y, z, j)   R( z)   M( z)   N( x, y)   Y( y, z, j)

Proof of Theorem ioodvbdlimc2lem

Dummy variables k b h i l w m c a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssz 11707	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
2		zssre 11384	. . . . . 6 |- ZZ C_ RR
3	1, 2	sstri 3612	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ZZ>= ` M ) C_ RR )
5		ioodvbdlimc2lem.m	. . . . . . 7 |- M = ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 )
6		ioodvbdlimc2lem.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR )
7		ioodvbdlimc2lem.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
8	6, 7	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
9		ioodvbdlimc2lem.altb	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A < B )
10	7, 6	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
11	9, 10	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
12	11	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - A ) =/= 0 )
13	8, 12	rereccld 10852	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( B - A ) ) e. RR )
14		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
15	8, 11	recgt0d 10958	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( 1 / ( B - A ) ) )
16	14, 13, 15	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / ( B - A ) ) )
17		flge0nn0 12621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / ( B - A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / ( B - A ) ) ) -> ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) e. NN0 )
18	13, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) e. NN0 )
19		peano2nn0 11333	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) e. NN0 )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) e. NN0 )
21	5, 20	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
22	21	nn0zd 11480	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
23		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
24	23	uzsup 12662	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> sup ( ( ZZ>= ` M ) , RR* , < ) = +oo )
25	22, 24	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ( ZZ>= ` M ) , RR* , < ) = +oo )
26		ioodvbdlimc2lem.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
27	26	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
28	7	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR* )
30	6	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> B e. RR* )
32	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> B e. RR )
33		eluzelre 11698	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. RR )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. RR )
35		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 e. RR )
36		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> 0 e. RR )
37		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. RR )
38	36, 37	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 + 1 ) e. RR )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 0 + 1 ) e. RR )
40	36	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> 0 < ( 0 + 1 ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < ( 0 + 1 ) )
42		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
43	42	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
45	13	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) e. ZZ )
46	45	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) e. RR )
47		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. RR )
48	18	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) )
49	14, 46, 47, 48	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 + 1 ) <_ ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) )
50	49, 5	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 + 1 ) <_ M )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ M )
52		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ j )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ j )
54	39, 44, 34, 51, 53	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ j )
55	35, 39, 34, 41, 54	ltletrd 10197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < j )
56	55	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j =/= 0 )
57	34, 56	rereccld 10852	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 / j ) e. RR )
58	32, 57	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( B - ( 1 / j ) ) e. RR )
59	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR )
60	21	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
61	14, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 + 1 ) e. RR )
62	46, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) e. RR )
63	14	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( 0 + 1 ) )
64	14, 61, 62, 63, 49	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) )
65	64, 5	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < M )
66	65	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M =/= 0 )
67	60, 66	rereccld 10852	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / M ) e. RR )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 / M ) e. RR )
69	32, 68	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( B - ( 1 / M ) ) e. RR )
70	5	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) = M
71	70	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) = ( 1 / M )
72	71, 67	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) e. RR )
73	13, 15	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / ( B - A ) ) e. RR+ )
74	62, 64	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) e. RR+ )
75		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR+
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
77		fllelt 12598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / ( B - A ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) <_ ( 1 / ( B - A ) ) /\ ( 1 / ( B - A ) ) < ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) )
78	13, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) <_ ( 1 / ( B - A ) ) /\ ( 1 / ( B - A ) ) < ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) )
79	78	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / ( B - A ) ) < ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) )
80	73, 74, 76, 79	ltdiv2dd 39507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) < ( 1 / ( 1 / ( B - A ) ) ) )
81	8	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
82	81, 12	recrecd 10798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / ( 1 / ( B - A ) ) ) = ( B - A ) )
83	80, 82	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) < ( B - A ) )
84	72, 8, 6, 83	ltsub2dd 10640	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - ( B - A ) ) < ( B - ( 1 / ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) ) )
85	6	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
86	7	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
87	85, 86	nncand 10397	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - ( B - A ) ) = A )
88	71	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( B - ( 1 / ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) ) = ( B - ( 1 / M ) )
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - ( 1 / ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) ) = ( B - ( 1 / M ) ) )
90	84, 87, 89	3brtr3d 4684	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < ( B - ( 1 / M ) ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A < ( B - ( 1 / M ) ) )
92	60, 65	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR+ )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR+ )
94	34, 55	elrpd 11869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. RR+ )
95		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. RR )
96		0le1 10551	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ 1 )
98	93, 94, 95, 97, 53	lediv2ad 11894	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 / j ) <_ ( 1 / M ) )
99	57, 68, 32, 98	lesub2dd 10644	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( B - ( 1 / M ) ) <_ ( B - ( 1 / j ) ) )
100	59, 69, 58, 91, 99	ltletrd 10197	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A < ( B - ( 1 / j ) ) )
101	94	rpreccld 11882	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 / j ) e. RR+ )
102	32, 101	ltsubrpd 11904	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( B - ( 1 / j ) ) < B )
103	29, 31, 58, 100, 102	eliood 39720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( B - ( 1 / j ) ) e. ( A (,) B ) )
104	27, 103	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) e. RR )
105		ioodvbdlimc2lem.s	. . . . 5 |- S = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) )
106	104, 105	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> S : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
107		ioodvbdlimc2lem.dmdv	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
108		ioodvbdlimc2lem.dvbd	. . . . . 6 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ y )
109	7, 6, 9, 26, 107, 108	dvbdfbdioo 40145	. . . . 5 |- ( ph -> E. b e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
110	60	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) -> M e. RR )
111		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
112	105	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) e. RR ) -> ( S ` j ) = ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) )
113	111, 104, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( S ` j ) = ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) )
114	113	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( S ` j ) ) = ( abs ` ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) )
115	114	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( S ` j ) ) = ( abs ` ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) )
116		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
117	103	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( B - ( 1 / j ) ) e. ( A (,) B ) )
118		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( B - ( 1 / j ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) )
119	118	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( B - ( 1 / j ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) )
120	119	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( B - ( 1 / j ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) <_ b ) )
121	120	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b /\ ( B - ( 1 / j ) ) e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) <_ b )
122	116, 117, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) <_ b )
123	115, 122	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b )
124	123	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) )
125	124	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M ) ( M <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) )
126		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = M -> ( k <_ j <-> M <_ j ) )
127	126	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( ( k <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) <-> ( M <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) ) )
128	127	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( A. j e. ( ZZ>= ` M ) ( k <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) <-> A. j e. ( ZZ>= ` M ) ( M <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) ) )
129	128	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ A. j e. ( ZZ>= ` M ) ( M <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) ) -> E. k e. RR A. j e. ( ZZ>= ` M ) ( k <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) )
130	110, 125, 129	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) -> E. k e. RR A. j e. ( ZZ>= ` M ) ( k <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) )
131	130	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b -> E. k e. RR A. j e. ( ZZ>= ` M ) ( k <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) ) )
132	131	reximdv 3016	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. b e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b -> E. b e. RR E. k e. RR A. j e. ( ZZ>= ` M ) ( k <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) ) )
133	109, 132	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. b e. RR E. k e. RR A. j e. ( ZZ>= ` M ) ( k <_ j -> ( abs ` ( S ` j ) ) <_ b ) )
134	4, 25, 106, 133	limsupre 39873	. . 3 |- ( ph -> ( limsup ` S ) e. RR )
135	134	recnd 10068	. 2 |- ( ph -> ( limsup ` S ) e. CC )
136		eluzelre 11698	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` N ) -> j e. RR )
137	136	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR )
138		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 e. RR )
139	45	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) e. ZZ )
140	5, 139	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
142	141	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> M e. RR )
143	142	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. RR )
144	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 < M )
145		ioodvbdlimc2lem.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = if ( M <_ ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , M )
146		ioodvbdlimc2lem.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- Y = sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < )
147		ioomidp 39740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) )
148	7, 6, 9, 147	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) )
149		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) -> ( A (,) B ) =/= (/) )
150	148, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( A (,) B ) =/= (/) )
151		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( A (,) B ) C_ RR
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
153		dvfre 23714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
154	26, 152, 153	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
155	107	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
156	154, 155	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> RR )
157	156	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. RR )
158	157	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. CC )
159	158	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) e. RR )
160		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
161		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < )
162	150, 159, 108, 160, 161	suprnmpt 39355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) e. RR /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) ) )
163	162	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) e. RR )
164	146, 163	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Y e. RR )
165	164	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> Y e. RR )
166		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
167	166	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR+ -> ( x / 2 ) e. RR )
168	167	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR )
169	166	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
170	169	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
171		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
172		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
173	172	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
174		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 =/= 0 )
176	170, 171, 173, 175	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) =/= 0 )
177	165, 168, 176	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( Y / ( x / 2 ) ) e. RR )
178	177	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) e. ZZ )
179	178	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) e. ZZ )
180	179, 141	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
181	145, 180	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> N e. ZZ )
182	181	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> N e. RR )
183	182	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. RR )
184	179	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) e. RR )
185		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , M ) )
186	142, 184, 185	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , M ) )
187	186, 145	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> M <_ N )
188	187	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M <_ N )
189		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ j )
190	189	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ j )
191	143, 183, 137, 188, 190	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M <_ j )
192	138, 143, 137, 144, 191	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 < j )
193	192	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j =/= 0 )
194	137, 193	rereccld 10852	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 1 / j ) e. RR )
195	137, 192	recgt0d 10958	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 < ( 1 / j ) )
196	194, 195	elrpd 11869	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 1 / j ) e. RR+ )
197	196	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( 1 / j ) e. RR+ )
198		ioodvbdlimc2lem.ch	. . . . . . . . 9 |- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) )
199	198	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) )
200		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) -> ph )
201	199, 200	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ph )
202	201, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> F : ( A (,) B ) --> RR )
203	199	simplrd 793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> z e. ( A (,) B ) )
204	202, 203	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( F ` z ) e. RR )
205	204	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( F ` z ) e. CC )
206	201, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> S : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
207		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) -> x e. RR+ )
208	199, 207	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> x e. RR+ )
209		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
210	141, 181, 187, 209	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
211	201, 208, 210	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
212		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
213	211, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
214		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) -> j e. ( ZZ>= ` N ) )
215	199, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> j e. ( ZZ>= ` N ) )
216	213, 215	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
217	206, 216	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( S ` j ) e. RR )
218	217	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( S ` j ) e. CC )
219	201, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( limsup ` S ) e. CC )
220	205, 218, 219	npncand 10416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) + ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) = ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) )
221	220	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) + ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) )
222	221	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) + ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) ) )
223	204, 217	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) e. RR )
224	201, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( limsup ` S ) e. RR )
225	217, 224	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) e. RR )
226	223, 225	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) + ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) e. RR )
227	226	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) + ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) e. CC )
228	227	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) + ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) ) e. RR )
229	223	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) e. CC )
230	229	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) ) e. RR )
231	225	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) e. CC )
232	231	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) e. RR )
233	230, 232	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) ) + ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) ) e. RR )
234	208	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> x e. RR )
235	229, 231	abstrid 14195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) + ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) ) + ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) ) )
236	234	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( x / 2 ) e. RR )
237	201, 216, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( S ` j ) = ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) )
238	237	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) )
239	238	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) ) )
240	239, 230	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) ) e. RR )
241	201, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> Y e. RR )
242	151, 203	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> z e. RR )
243	201, 216, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( B - ( 1 / j ) ) e. RR )
244	242, 243	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( z - ( B - ( 1 / j ) ) ) e. RR )
245	241, 244	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( Y x. ( z - ( B - ( 1 / j ) ) ) ) e. RR )
246	201, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> A e. RR )
247	201, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> B e. RR )
248	201, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
249	162	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) )
250	146	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ Y <-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) )
251	250	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ Y <-> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) )
252	249, 251	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ Y )
253	201, 252	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ Y )
254		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = x -> ( ( RR _D F ) ` w ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
255	254	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = x -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` w ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
256	255	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = x -> ( ( abs ` ( ( RR _D F ) ` w ) ) <_ Y <-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ Y ) )
257	256	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. w e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` w ) ) <_ Y <-> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ Y )
258	253, 257	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> A. w e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` w ) ) <_ Y )
259	201, 216, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( B - ( 1 / j ) ) e. ( A (,) B ) )
260	243	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( B - ( 1 / j ) ) e. RR* )
261	201, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> B e. RR* )
262	3, 216	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> j e. RR )
263	201, 216, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> j =/= 0 )
264	262, 263	rereccld 10852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( 1 / j ) e. RR )
265	247, 242	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( B - z ) e. RR )
266	242, 247	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( z - B ) e. RR )
267	266	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( z - B ) e. CC )
268	267	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( abs ` ( z - B ) ) e. RR )
269	265	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( B - z ) <_ ( abs ` ( B - z ) ) )
270	201, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> B e. CC )
271	242	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> z e. CC )
272	270, 271	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( abs ` ( B - z ) ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
273	269, 272	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( B - z ) <_ ( abs ` ( z - B ) ) )
274	199	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) )
275	265, 268, 264, 273, 274	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( B - z ) < ( 1 / j ) )
276	247, 242, 264, 275	ltsub23d 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( B - ( 1 / j ) ) < z )
277	201, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> A e. RR* )
278		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z < B )
279	277, 261, 203, 278	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> z < B )
280	260, 261, 242, 276, 279	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> z e. ( ( B - ( 1 / j ) ) (,) B ) )
281	246, 247, 202, 248, 241, 258, 259, 280	dvbdfbdioolem1 40143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) ) <_ ( Y x. ( z - ( B - ( 1 / j ) ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) ) <_ ( Y x. ( B - A ) ) ) )
282	281	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) ) <_ ( Y x. ( z - ( B - ( 1 / j ) ) ) ) )
283	201, 216, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( 1 / j ) e. RR )
284	241, 283	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( Y x. ( 1 / j ) ) e. RR )
285	156, 148	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. RR )
286	285	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
287	286	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) e. RR )
288	286	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) )
289		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = ( ( A + B ) / 2 ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) )
290	289	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( ( A + B ) / 2 ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) )
291	146	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) = Y
292	291	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( ( A + B ) / 2 ) -> sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) = Y )
293	290, 292	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( ( A + B ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) <-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) <_ Y ) )
294	293	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) <_ Y )
295	148, 249, 294	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) <_ Y )
296	14, 287, 164, 288, 295	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ Y )
297	201, 296	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> 0 <_ Y )
298	283	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( 1 / j ) e. CC )
299		sub31 39503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. CC /\ B e. CC /\ ( 1 / j ) e. CC ) -> ( z - ( B - ( 1 / j ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( B - z ) ) )
300	271, 270, 298, 299	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( z - ( B - ( 1 / j ) ) ) = ( ( 1 / j ) - ( B - z ) ) )
301	242, 247	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( z < B <-> 0 < ( B - z ) ) )
302	279, 301	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> 0 < ( B - z ) )
303	265, 302	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( B - z ) e. RR+ )
304	283, 303	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( ( 1 / j ) - ( B - z ) ) < ( 1 / j ) )
305	300, 304	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( z - ( B - ( 1 / j ) ) ) < ( 1 / j ) )
306	244, 283, 305	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( z - ( B - ( 1 / j ) ) ) <_ ( 1 / j ) )
307	244, 283, 241, 297, 306	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( Y x. ( z - ( B - ( 1 / j ) ) ) ) <_ ( Y x. ( 1 / j ) ) )
308	284	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ch /\ Y = 0 ) -> ( Y x. ( 1 / j ) ) e. RR )
309	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ch /\ Y = 0 ) -> ( x / 2 ) e. RR )
310		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Y = 0 -> ( Y x. ( 1 / j ) ) = ( 0 x. ( 1 / j ) ) )
311	298	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( 0 x. ( 1 / j ) ) = 0 )
312	310, 311	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ch /\ Y = 0 ) -> ( Y x. ( 1 / j ) ) = 0 )
313	208	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( x / 2 ) e. RR+ )
314	313	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> 0 < ( x / 2 ) )
315	314	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ch /\ Y = 0 ) -> 0 < ( x / 2 ) )
316	312, 315	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ch /\ Y = 0 ) -> ( Y x. ( 1 / j ) ) < ( x / 2 ) )
317	308, 309, 316	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ch /\ Y = 0 ) -> ( Y x. ( 1 / j ) ) <_ ( x / 2 ) )
318	241	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ch /\ -. Y = 0 ) -> Y e. RR )
319	297	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ch /\ -. Y = 0 ) -> 0 <_ Y )
320		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. Y = 0 -> Y =/= 0 )
321	320	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ch /\ -. Y = 0 ) -> Y =/= 0 )
322	318, 319, 321	ne0gt0d 10174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ch /\ -. Y = 0 ) -> 0 < Y )
323	284	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y x. ( 1 / j ) ) e. RR )
324	3, 211	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> N e. RR )
325		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> 0 e. RR )
326	201, 208, 142	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> M e. RR )
327	201, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> 0 < M )
328	201, 208, 187	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> M <_ N )
329	325, 326, 324, 327, 328	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> 0 < N )
330	329	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> N =/= 0 )
331	324, 330	rereccld 10852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( 1 / N ) e. RR )
332	241, 331	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( Y x. ( 1 / N ) ) e. RR )
333	332	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y x. ( 1 / N ) ) e. RR )
334	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( x / 2 ) e. RR )
335	283	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( 1 / j ) e. RR )
336	331	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( 1 / N ) e. RR )
337	241	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> Y e. RR )
338	297	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> 0 <_ Y )
339	324, 329	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> N e. RR+ )
340	201, 216, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> j e. RR+ )
341		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> 1 e. RR )
342	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> 0 <_ 1 )
343	215, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> N <_ j )
344	339, 340, 341, 342, 343	lediv2ad 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( 1 / j ) <_ ( 1 / N ) )
345	344	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( 1 / j ) <_ ( 1 / N ) )
346	335, 336, 337, 338, 345	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y x. ( 1 / j ) ) <_ ( Y x. ( 1 / N ) ) )
347	234	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ch -> x e. CC )
348		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ch -> 2 e. CC )
349	208	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ch -> x =/= 0 )
350	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ch -> 2 =/= 0 )
351	347, 348, 349, 350	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ch -> ( x / 2 ) =/= 0 )
352	241, 236, 351	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> ( Y / ( x / 2 ) ) e. RR )
353	352	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y / ( x / 2 ) ) e. RR )
354		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> 0 < Y )
355	314	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> 0 < ( x / 2 ) )
356	337, 334, 354, 355	divgt0d 10959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> 0 < ( Y / ( x / 2 ) ) )
357	353, 356	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y / ( x / 2 ) ) e. RR+ )
358	357	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( 1 / ( Y / ( x / 2 ) ) ) e. RR )
359	339	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> N e. RR+ )
360		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> 1 e. RR )
361	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> 0 <_ 1 )
362	352	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ch -> ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) e. ZZ )
363	362	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ch -> ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) e. ZZ )
364	363	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ch -> ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) e. RR )
365	201, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ch -> M e. ZZ )
366	363, 365	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ch -> if ( M <_ ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
367	145, 366	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ch -> N e. ZZ )
368	367	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ch -> N e. RR )
369		flltp1 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Y / ( x / 2 ) ) e. RR -> ( Y / ( x / 2 ) ) < ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) )
370	352, 369	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ch -> ( Y / ( x / 2 ) ) < ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) )
371	201, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ch -> M e. RR )
372		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , M ) )
373	371, 364, 372	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ch -> ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , M ) )
374	373, 145	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ch -> ( ( |_ ` ( Y / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) <_ N )
375	352, 364, 368, 370, 374	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> ( Y / ( x / 2 ) ) < N )
376	352, 324, 375	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( Y / ( x / 2 ) ) <_ N )
377	376	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y / ( x / 2 ) ) <_ N )
378	357, 359, 360, 361, 377	lediv2ad 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( 1 / N ) <_ ( 1 / ( Y / ( x / 2 ) ) ) )
379	336, 358, 337, 338, 378	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y x. ( 1 / N ) ) <_ ( Y x. ( 1 / ( Y / ( x / 2 ) ) ) ) )
380	337	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> Y e. CC )
381	353	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y / ( x / 2 ) ) e. CC )
382	356	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y / ( x / 2 ) ) =/= 0 )
383	380, 381, 382	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y / ( Y / ( x / 2 ) ) ) = ( Y x. ( 1 / ( Y / ( x / 2 ) ) ) ) )
384	334	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( x / 2 ) e. CC )
385	354	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> Y =/= 0 )
386	351	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( x / 2 ) =/= 0 )
387	380, 384, 385, 386	ddcand 10821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y / ( Y / ( x / 2 ) ) ) = ( x / 2 ) )
388	383, 387	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y x. ( 1 / ( Y / ( x / 2 ) ) ) ) = ( x / 2 ) )
389	379, 388	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y x. ( 1 / N ) ) <_ ( x / 2 ) )
390	323, 333, 334, 346, 389	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ch /\ 0 < Y ) -> ( Y x. ( 1 / j ) ) <_ ( x / 2 ) )
391	322, 390	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ch /\ -. Y = 0 ) -> ( Y x. ( 1 / j ) ) <_ ( x / 2 ) )
392	317, 391	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( Y x. ( 1 / j ) ) <_ ( x / 2 ) )
393	245, 284, 236, 307, 392	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( Y x. ( z - ( B - ( 1 / j ) ) ) ) <_ ( x / 2 ) )
394	240, 245, 236, 282, 393	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) ) <_ ( x / 2 ) )
395	239, 394	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) ) <_ ( x / 2 ) )
396		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) -> ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) )
397	199, 396	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) )
398	230, 232, 236, 236, 395, 397	leltaddd 10649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) ) + ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) ) < ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) )
399	347	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) = x )
400	398, 399	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) ) + ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) ) < x )
401	228, 233, 234, 235, 400	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) - ( S ` j ) ) + ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) ) < x )
402	222, 401	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x )
403	198, 402	sylbir 225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x )
404	403	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x )
405	404	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) )
406	405	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. z e. ( A (,) B ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) )
407		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( 1 / j ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y <-> ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) )
408	407	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 / j ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) <-> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) ) )
409	408	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( y = ( 1 / j ) -> ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) <-> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) ) )
410	409	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( y = ( 1 / j ) -> ( A. z e. ( A (,) B ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) <-> A. z e. ( A (,) B ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) ) )
411	410	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / j ) e. RR+ /\ A. z e. ( A (,) B ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < ( 1 / j ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( A (,) B ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) )
412	197, 406, 411	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( A (,) B ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) )
413		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b <_ N ) -> b <_ N )
414	413	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b <_ N ) -> if ( b <_ N , N , b ) = N )
415		uzid 11702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
416	181, 415	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
417	416	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
418	414, 417	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b <_ N ) -> if ( b <_ N , N , b ) e. ( ZZ>= ` N ) )
419	418	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ b <_ N ) -> if ( b <_ N , N , b ) e. ( ZZ>= ` N ) )
420		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. b <_ N -> if ( b <_ N , N , b ) = b )
421	420	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> if ( b <_ N , N , b ) = b )
422	181	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> N e. ZZ )
423		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> b e. ZZ )
424	422	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> N e. RR )
425	423	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> b e. RR )
426		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> -. b <_ N )
427	424, 425	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> ( N < b <-> -. b <_ N ) )
428	426, 427	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> N < b )
429	424, 425, 428	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> N <_ b )
430		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ b e. ZZ /\ N <_ b ) )
431	422, 423, 429, 430	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> b e. ( ZZ>= ` N ) )
432	421, 431	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ -. b <_ N ) -> if ( b <_ N , N , b ) e. ( ZZ>= ` N ) )
433	419, 432	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) -> if ( b <_ N , N , b ) e. ( ZZ>= ` N ) )
434	433	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> if ( b <_ N , N , b ) e. ( ZZ>= ` N ) )
435		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
436		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) -> b e. ZZ )
437	181	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) -> N e. ZZ )
438	437, 436	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) -> if ( b <_ N , N , b ) e. ZZ )
439	436	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) -> b e. RR )
440	437	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) -> N e. RR )
441		max1 12016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. RR /\ N e. RR ) -> b <_ if ( b <_ N , N , b ) )
442	439, 440, 441	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) -> b <_ if ( b <_ N , N , b ) )
443		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( b <_ N , N , b ) e. ( ZZ>= ` b ) <-> ( b e. ZZ /\ if ( b <_ N , N , b ) e. ZZ /\ b <_ if ( b <_ N , N , b ) ) )
444	436, 438, 442, 443	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) -> if ( b <_ N , N , b ) e. ( ZZ>= ` b ) )
445	444	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> if ( b <_ N , N , b ) e. ( ZZ>= ` b ) )
446		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = if ( b <_ N , N , b ) -> ( S ` c ) = ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) )
447	446	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( c = if ( b <_ N , N , b ) -> ( ( S ` c ) e. CC <-> ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) e. CC ) )
448	446	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = if ( b <_ N , N , b ) -> ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) = ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) )
449	448	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = if ( b <_ N , N , b ) -> ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) = ( abs ` ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) ) )
450	449	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( c = if ( b <_ N , N , b ) -> ( ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
451	447, 450	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( c = if ( b <_ N , N , b ) -> ( ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
452	451	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ if ( b <_ N , N , b ) e. ( ZZ>= ` b ) ) -> ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
453	435, 445, 452	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
454	453	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) )
455		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = if ( b <_ N , N , b ) -> ( S ` j ) = ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) )
456	455	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( j = if ( b <_ N , N , b ) -> ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) = ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) )
457	456	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( j = if ( b <_ N , N , b ) -> ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) = ( abs ` ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) ) )
458	457	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( j = if ( b <_ N , N , b ) -> ( ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
459	458	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( if ( b <_ N , N , b ) e. ( ZZ>= ` N ) /\ ( abs ` ( ( S ` if ( b <_ N , N , b ) ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) )
460	434, 454, 459	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ b e. ZZ ) /\ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) )
461		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ CC
462	461	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> RR C_ CC )
463	26, 462	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
464		dvcn 23684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( A (,) B ) C_ RR ) /\ dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) ) -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
465	462, 463, 152, 107, 464	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
466		cncffvrn 22701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( RR C_ CC /\ F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> F : ( A (,) B ) --> RR ) )
467	462, 465, 466	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> F : ( A (,) B ) --> RR ) )
468	26, 467	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
469		ioodvbdlimc2lem.r	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( B - ( 1 / j ) ) )
470	103, 469	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R : ( ZZ>= ` M ) --> ( A (,) B ) )
471		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( R ` j ) ) ) = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( R ` j ) ) )
472		climrel 14223	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ~~>
473	472	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Rel ~~> )
474		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
475	474	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) e. _V
476	475	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) e. _V )
477		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) )
478		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j = m ) -> B = B )
479		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
480	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> B e. RR )
481	477, 478, 479, 480	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) ` m ) = B )
482	23, 22, 476, 85, 481	climconst 14274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) ~~> B )
483	474	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( B - ( 1 / j ) ) ) e. _V
484	469, 483	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- R e. _V
485	484	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. _V )
486		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
487		elnnnn0b 11337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN <-> ( M e. NN0 /\ 0 < M ) )
488	21, 65, 487	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. NN )
489		divcnvg 39859	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ M e. NN ) -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( 1 / j ) ) ~~> 0 )
490	486, 488, 489	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( 1 / j ) ) ~~> 0 )
491		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) )
492		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j = i ) -> B = B )
493		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
494	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> B e. RR )
495	491, 492, 493, 494	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) ` i ) = B )
496	495, 494	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) ` i ) e. RR )
497	496	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) ` i ) e. CC )
498		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( 1 / j ) ) = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( 1 / j ) ) )
499		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = i -> ( 1 / j ) = ( 1 / i ) )
500	499	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j = i ) -> ( 1 / j ) = ( 1 / i ) )
501	3, 493	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. RR )
502		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 e. RR )
503	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
504	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < M )
505		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ i )
506	505	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ i )
507	502, 503, 501, 504, 506	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < i )
508	507	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i =/= 0 )
509	501, 508	rereccld 10852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 / i ) e. RR )
510	498, 500, 493, 509	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( 1 / j ) ) ` i ) = ( 1 / i ) )
511	501	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> i e. CC )
512	511, 508	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 / i ) e. CC )
513	510, 512	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( 1 / j ) ) ` i ) e. CC )
514	499	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = i -> ( B - ( 1 / j ) ) = ( B - ( 1 / i ) ) )
515		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B - ( 1 / i ) ) e. _V
516	514, 469, 515	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> ( R ` i ) = ( B - ( 1 / i ) ) )
517	516	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( R ` i ) = ( B - ( 1 / i ) ) )
518	495, 510	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) ` i ) - ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( 1 / j ) ) ` i ) ) = ( B - ( 1 / i ) ) )
519	517, 518	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( R ` i ) = ( ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> B ) ` i ) - ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( 1 / j ) ) ` i ) ) )
520	23, 22, 482, 485, 490, 497, 513, 519	climsub 14364	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R ~~> ( B - 0 ) )
521	85	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B - 0 ) = B )
522	520, 521	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R ~~> B )
523		releldm 5358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Rel ~~> /\ R ~~> B ) -> R e. dom ~~> )
524	473, 522, 523	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. dom ~~> )
525		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = k -> ( ZZ>= ` l ) = ( ZZ>= ` k ) )
526		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = k -> ( R ` l ) = ( R ` k ) )
527	526	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = k -> ( ( R ` h ) - ( R ` l ) ) = ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) )
528	527	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = k -> ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` l ) ) ) = ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) )
529	528	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = k -> ( ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` l ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
530	525, 529	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = k -> ( A. h e. ( ZZ>= ` l ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` l ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) <-> A. h e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
531	530	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . 13 |- { l e. ( ZZ>= ` M ) | A. h e. ( ZZ>= ` l ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` l ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } = { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. h e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) }
532		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = i -> ( R ` h ) = ( R ` i ) )
533	532	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = i -> ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) = ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) )
534	533	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = i -> ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) )
535	534	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = i -> ( ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
536	535	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. h e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
537	536	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( A. h e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
538		rabbi 3120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( A. h e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) <-> { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. h e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } = { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } )
539	537, 538	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. h e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } = { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) }
540	531, 539	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- { l e. ( ZZ>= ` M ) | A. h e. ( ZZ>= ` l ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` l ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } = { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) }
541	540	infeq1i 8384	. . . . . . . . . . 11 |- inf ( { l e. ( ZZ>= ` M ) | A. h e. ( ZZ>= ` l ) ( abs ` ( ( R ` h ) - ( R ` l ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } , RR , < ) = inf ( { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } , RR , < )
542	7, 6, 9, 468, 107, 108, 22, 470, 471, 524, 541	ioodvbdlimc1lem1 40146	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( R ` j ) ) ) ~~> ( limsup ` ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( R ` j ) ) ) ) )
543	469	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( B - ( 1 / j ) ) e. RR ) -> ( R ` j ) = ( B - ( 1 / j ) ) )
544	111, 58, 543	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( R ` j ) = ( B - ( 1 / j ) ) )
545	544	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( B - ( 1 / j ) ) = ( R ` j ) )
546	545	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) = ( F ` ( R ` j ) ) )
547	546	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( R ` j ) ) ) )
548	105, 547	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( R ` j ) ) ) )
549	548	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( limsup ` S ) = ( limsup ` ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( R ` j ) ) ) ) )
550	542, 548, 549	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S ~~> ( limsup ` S ) )
551	474	mptex 6486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( B - ( 1 / j ) ) ) ) e. _V
552	105, 551	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- S e. _V
553	552	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. _V )
554		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ZZ ) -> ( S ` c ) = ( S ` c ) )
555	553, 554	clim 14225	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ~~> ( limsup ` S ) <-> ( ( limsup ` S ) e. CC /\ A. a e. RR+ E. b e. ZZ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < a ) ) ) )
556	550, 555	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( limsup ` S ) e. CC /\ A. a e. RR+ E. b e. ZZ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < a ) ) )
557	556	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. ZZ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < a ) )
558	557	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> A. a e. RR+ E. b e. ZZ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < a ) )
559		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
560	559	rphalfcld 11884	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ )
561		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( x / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < a <-> ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
562	561	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( a = ( x / 2 ) -> ( ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < a ) <-> ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
563	562	rexralbidv 3058	. . . . . . 7 |- ( a = ( x / 2 ) -> ( E. b e. ZZ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < a ) <-> E. b e. ZZ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
564	563	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. a e. RR+ E. b e. ZZ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < a ) /\ ( x / 2 ) e. RR+ ) -> E. b e. ZZ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
565	558, 560, 564	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. b e. ZZ A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( S ` c ) e. CC /\ ( abs ` ( ( S ` c ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) ) )
566	460, 565	r19.29a 3078	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( S ` j ) - ( limsup ` S ) ) ) < ( x / 2 ) )
567	412, 566	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( A (,) B ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) )
568	567	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. ( A (,) B ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) )
569		ioosscn 39716	. . . 4 |- ( A (,) B ) C_ CC
570	569	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
571	463, 570, 85	ellimc3 23643	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` S ) e. ( F lim CC B ) <-> ( ( limsup ` S ) e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. ( A (,) B ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( limsup ` S ) ) ) < x ) ) ) )
572	135, 568, 571	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( limsup ` S ) e. ( F lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Rel wrel 5119   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   |_cfl 12591   abscabs 13974   limsupclsp 14201   ~~> cli 14215   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc2  40150