Theorem ioodvbdlimc1lem1 40146

Description: If F has bounded derivative on ( A (,) B ) then a sequence of points in its image converges to its limsup. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioodvbdlimc1lem1.a	|- ( ph -> A e. RR )
ioodvbdlimc1lem1.b	|- ( ph -> B e. RR )
ioodvbdlimc1lem1.altb	|- ( ph -> A < B )
ioodvbdlimc1lem1.f	|- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
ioodvbdlimc1lem1.dmdv	|- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc1lem1.dvbd	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ y )
ioodvbdlimc1lem1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
ioodvbdlimc1lem1.r	|- ( ph -> R : ( ZZ>= ` M ) --> ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc1lem1.s	|- S = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( R ` j ) ) )
ioodvbdlimc1lem1.rcnv	|- ( ph -> R e. dom ~~> )
ioodvbdlimc1lem1.k	|- K = inf ( { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
ioodvbdlimc1lem1	|- ( ph -> S ~~> ( limsup ` S ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, i, k, x, z   y, A, i, x, z   B, i, k, x, z   y, B   i, F, j, x   k, F, z   y, F   i, K, j   k, K   y, K   i, M, j, x   k, M   R, i, j   R, k   y, R   S, i, k, x   ph, i, j, x   ph, k   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( j)   B( j)   R( x, z)   S( y, z, j)   K( x, z)   M( y, z)

Proof of Theorem ioodvbdlimc1lem1

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		ioodvbdlimc1lem1.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
3		cncff 22696	. . . . . 6 |- ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
5	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
6		ioodvbdlimc1lem1.r	. . . . 5 |- ( ph -> R : ( ZZ>= ` M ) --> ( A (,) B ) )
7	6	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( R ` j ) e. ( A (,) B ) )
8	5, 7	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( R ` j ) ) e. RR )
9		ioodvbdlimc1lem1.s	. . 3 |- S = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( R ` j ) ) )
10	8, 9	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> S : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
11		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } C_ ( ZZ>= ` M )
12		ioodvbdlimc1lem1.k	. . . . . 6 |- K = inf ( { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } , RR , < )
13		rpre 11839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( ( RR _D F ) ` z ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
17	16	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
18	17	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) = ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
19	18	supeq1i 8353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < )
20		ioodvbdlimc1lem1.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. RR )
21		ioodvbdlimc1lem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. RR )
22		ioodvbdlimc1lem1.altb	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A < B )
23		ioomidp 39740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) )
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) )
25		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) -> ( A (,) B ) =/= (/) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A (,) B ) =/= (/) )
27		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A (,) B ) C_ RR
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
29		dvfre 23714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
30	4, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
31		ioodvbdlimc1lem1.dmdv	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
32	31	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
33	30, 32	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> RR )
34		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- RR C_ CC
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> RR C_ CC )
36	33, 35	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> CC )
37	36	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. CC )
38	37	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) e. RR )
39		ioodvbdlimc1lem1.dvbd	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ y )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < )
42	26, 38, 39, 40, 41	suprnmpt 39355	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) e. RR /\ A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) ) )
43	42	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) e. RR )
44	19, 43	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) e. RR )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) e. RR )
46		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) e. RR -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) e. RR )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) e. RR )
48		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. RR )
49		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. RR )
50	48, 49	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 + 1 ) e. RR )
51	44, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) e. RR )
52	48	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( 0 + 1 ) )
53	36, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
54	53	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) e. RR )
55	53	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) )
56	42	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) )
57		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
59	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) )
60	58, 59	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) <-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) ) )
61	60	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. y e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) <-> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < ) )
62	56, 61	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. y e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) )
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( ( A + B ) / 2 ) -> ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( ( A + B ) / 2 ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) )
65	64	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( ( A + B ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) <-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) ) )
66	65	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) /\ A. y e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) )
67	24, 62, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) )
68	48, 54, 44, 55, 67	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) )
69	48, 44, 49, 68	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 + 1 ) <_ ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) )
70	48, 50, 51, 52, 69	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) )
71	70	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) =/= 0 )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) =/= 0 )
73	14, 47, 72	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) e. RR )
74		rpgt0 11844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> 0 < x )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 < x )
76	70	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 < ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) )
77	14, 47, 75, 76	divgt0d 10959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
78	73, 77	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) e. RR+ )
79		ioodvbdlimc1lem1.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> M e. ZZ )
81		ioodvbdlimc1lem1.rcnv	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. dom ~~> )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> R e. dom ~~> )
83	1	climcau 14401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ R e. dom ~~> ) -> A. w e. RR+ E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < w )
84	80, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> A. w e. RR+ E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < w )
85		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
86	85	rexralbidv 3058	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) -> ( E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < w <-> E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
87	86	rspcva 3307	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) e. RR+ /\ A. w e. RR+ E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < w ) -> E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
88	78, 84, 87	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
89		rabn0 3958	. . . . . . . 8 |- ( { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } =/= (/) <-> E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
90	88, 89	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } =/= (/) )
91		infssuzcl 11772	. . . . . . 7 |- ( ( { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } C_ ( ZZ>= ` M ) /\ { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } =/= (/) ) -> inf ( { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } , RR , < ) e. { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } )
92	11, 90, 91	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> inf ( { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } , RR , < ) e. { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } )
93	12, 92	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> K e. { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } )
94	11, 93	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
95	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> S = ( j e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( F ` ( R ` j ) ) ) )
96		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> ( R ` j ) = ( R ` i ) )
97	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( F ` ( R ` j ) ) = ( F ` ( R ` i ) ) )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ j = i ) -> ( F ` ( R ` j ) ) = ( F ` ( R ` i ) ) )
99		uzss 11708	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` K ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
100	94, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ZZ>= ` K ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
101	100	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
102	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
103	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> R : ( ZZ>= ` M ) --> ( A (,) B ) )
104	103, 101	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( R ` i ) e. ( A (,) B ) )
105	102, 104	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` ( R ` i ) ) e. RR )
106	95, 98, 101, 105	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( S ` i ) = ( F ` ( R ` i ) ) )
107		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = K -> ( R ` j ) = ( R ` K ) )
108	107	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( j = K -> ( F ` ( R ` j ) ) = ( F ` ( R ` K ) ) )
109	108	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ j = K ) -> ( F ` ( R ` j ) ) = ( F ` ( R ` K ) ) )
110	94	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
111	103, 110	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( R ` K ) e. ( A (,) B ) )
112	102, 111	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` ( R ` K ) ) e. RR )
113	95, 109, 110, 112	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( S ` K ) = ( F ` ( R ` K ) ) )
114	106, 113	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( S ` i ) - ( S ` K ) ) = ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) )
115	114	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` K ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) )
116	105	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` ( R ` i ) ) e. CC )
117	112	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` ( R ` K ) ) e. CC )
118	116, 117	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) e. CC )
119	118	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) e. RR )
120	119	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) e. RR )
121	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) e. RR )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) e. RR )
123	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> R : ( ZZ>= ` M ) --> ( A (,) B ) )
124	123, 94	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R ` K ) e. ( A (,) B ) )
125	27, 124	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R ` K ) e. RR )
126	125	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( R ` K ) e. RR )
127	27, 104	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( R ` i ) e. RR )
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( R ` i ) e. RR )
129	126, 128	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) e. RR )
130	122, 129	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) e. RR )
131	13	ad3antlr 767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> x e. RR )
132	116	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( F ` ( R ` i ) ) e. CC )
133	117	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( F ` ( R ` K ) ) e. CC )
134	132, 133	abssubd 14192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( R ` K ) ) - ( F ` ( R ` i ) ) ) ) )
135	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> A e. RR )
136	21	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> B e. RR )
137	102	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
138	31	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
139	62	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> A. y e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) )
140	104	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( R ` i ) e. ( A (,) B ) )
141	127	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( R ` i ) e. RR* )
142	141	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( R ` i ) e. RR* )
143	21	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR* )
144	143	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> B e. RR* )
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> B e. RR* )
146		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( R ` i ) < ( R ` K ) )
147	20	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR* )
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> A e. RR* )
149	143	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> B e. RR* )
150		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( R ` K ) e. ( A (,) B ) ) -> ( R ` K ) < B )
151	148, 149, 124, 150	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R ` K ) < B )
152	151	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( R ` K ) < B )
153	142, 145, 126, 146, 152	eliood 39720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( R ` K ) e. ( ( R ` i ) (,) B ) )
154	135, 136, 137, 138, 122, 139, 140, 153	dvbdfbdioolem1 40143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` ( R ` K ) ) - ( F ` ( R ` i ) ) ) ) <_ ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` ( R ` K ) ) - ( F ` ( R ` i ) ) ) ) <_ ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( B - A ) ) ) )
155	154	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` K ) ) - ( F ` ( R ` i ) ) ) ) <_ ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) )
156	134, 155	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) <_ ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) )
157	122, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) e. RR )
158	157, 129	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) x. ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) e. RR )
159	128, 126	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( ( R ` i ) < ( R ` K ) <-> 0 < ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) )
160	146, 159	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> 0 < ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) )
161	129, 160	elrpd 11869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) e. RR+ )
162	122	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) < ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) )
163	122, 157, 161, 162	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) < ( ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) x. ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) )
164	27, 111	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( R ` K ) e. RR )
165	127, 164	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) e. RR )
166	165	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) e. CC )
167	166	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) e. RR )
168	167	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) e. RR )
169	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) e. RR )
170	129	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) )
171	126	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( R ` K ) e. CC )
172	127	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( R ` i ) e. CC )
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( R ` i ) e. CC )
174	171, 173	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) = ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) )
175	170, 174	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) )
176		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = K -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` K ) )
177		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = K -> ( R ` k ) = ( R ` K ) )
178	177	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = K -> ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) = ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) )
179	178	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = K -> ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) )
180	179	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = K -> ( ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
181	176, 180	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = K -> ( A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` K ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
182	181	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. { k e. ( ZZ>= ` M ) | A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` k ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) } <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` K ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
183	93, 182	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` K ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
184	183	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> A. i e. ( ZZ>= ` K ) ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
185	184	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
186	185	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
187	129, 168, 169, 175, 186	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
188	51, 70	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) e. RR+ )
189	188	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) e. RR+ )
190	129, 131, 189	ltmuldiv2d 11920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( ( ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) x. ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) < x <-> ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
191	187, 190	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) x. ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) < x )
192	130, 158, 131, 163, 191	lttrd 10198	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` K ) - ( R ` i ) ) ) < x )
193	120, 130, 131, 156, 192	lelttrd 10195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) < x )
194		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` i ) = ( R ` K ) -> ( F ` ( R ` i ) ) = ( F ` ( R ` K ) ) )
195	194	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` i ) = ( R ` K ) -> ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) = ( ( F ` ( R ` K ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) )
196	117	subidd 10380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( F ` ( R ` K ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) = 0 )
197	195, 196	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) = 0 )
198	197	abs00bd 14031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) = 0 )
199	74	ad3antlr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> 0 < x )
200	198, 199	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) < x )
201	200	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) < ( R ` K ) ) /\ ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) < x )
202		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) < ( R ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) )
203	164	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) < ( R ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> ( R ` K ) e. RR )
204	127	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) < ( R ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> ( R ` i ) e. RR )
205		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` K ) = ( R ` i ) -> ( R ` K ) = ( R ` i ) )
206	205	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` K ) = ( R ` i ) -> ( R ` i ) = ( R ` K ) )
207	206	necon3bi 2820	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( R ` i ) = ( R ` K ) -> ( R ` K ) =/= ( R ` i ) )
208	207	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) < ( R ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> ( R ` K ) =/= ( R ` i ) )
209		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) < ( R ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> -. ( R ` i ) < ( R ` K ) )
210	203, 204, 208, 209	lttri5d 39513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) < ( R ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> ( R ` K ) < ( R ` i ) )
211	119	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) e. RR )
212	121, 165	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) e. RR )
213	212	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) e. RR )
214	13	ad3antlr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> x e. RR )
215	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> A e. RR )
216	21	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> B e. RR )
217	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
218	31	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
219	44	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) e. RR )
220	62	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> A. y e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) )
221	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( R ` K ) e. ( A (,) B ) )
222	125	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R ` K ) e. RR* )
223	222	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( R ` K ) e. RR* )
224	216	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> B e. RR* )
225	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( R ` i ) e. RR )
226		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( R ` K ) < ( R ` i ) )
227	147	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> A e. RR* )
228		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( R ` i ) e. ( A (,) B ) ) -> ( R ` i ) < B )
229	227, 144, 104, 228	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( R ` i ) < B )
230	229	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( R ` i ) < B )
231	223, 224, 225, 226, 230	eliood 39720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( R ` i ) e. ( ( R ` K ) (,) B ) )
232	215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 231	dvbdfbdioolem1 40143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) <_ ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) <_ ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( B - A ) ) ) )
233	232	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) <_ ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) )
234		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> 1 e. RR )
235	219, 234	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) e. RR )
236	164	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( R ` K ) e. RR )
237	225, 236	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) e. RR )
238	235, 237	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) x. ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) e. RR )
239	219, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) e. RR )
240	236, 225	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( ( R ` K ) < ( R ` i ) <-> 0 < ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) )
241	226, 240	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> 0 < ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) )
242	237, 241	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) e. RR+ )
243	219	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) < ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) )
244	219, 239, 242, 243	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < ( ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) x. ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) )
245	167	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) e. RR )
246	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) e. RR )
247	237	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) )
248	185	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( abs ` ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
249	237, 245, 246, 247, 248	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) )
250	188	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) e. RR+ )
251	237, 214, 250	ltmuldiv2d 11920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( ( ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) x. ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < x <-> ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) < ( x / ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) ) ) )
252	249, 251	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) + 1 ) x. ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < x )
253	213, 238, 214, 244, 252	lttrd 10198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( sup ( ran ( z e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` z ) ) ) , RR , < ) x. ( ( R ` i ) - ( R ` K ) ) ) < x )
254	211, 213, 214, 233, 253	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( R ` K ) < ( R ` i ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) < x )
255	202, 210, 254	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) < ( R ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) = ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) < x )
256	201, 255	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ -. ( R ` i ) < ( R ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) < x )
257	193, 256	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( R ` i ) ) - ( F ` ( R ` K ) ) ) ) < x )
258	115, 257	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ i e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` K ) ) ) < x )
259	258	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> A. i e. ( ZZ>= ` K ) ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` K ) ) ) < x )
260		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( S ` k ) = ( S ` K ) )
261	260	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( ( S ` i ) - ( S ` k ) ) = ( ( S ` i ) - ( S ` K ) ) )
262	261	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` K ) ) ) )
263	262	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` k ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` K ) ) ) < x ) )
264	176, 263	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( k = K -> ( A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` k ) ) ) < x <-> A. i e. ( ZZ>= ` K ) ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` K ) ) ) < x ) )
265	264	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` K ) ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` K ) ) ) < x ) -> E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` k ) ) ) < x )
266	94, 259, 265	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` k ) ) ) < x )
267	266	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. k e. ( ZZ>= ` M ) A. i e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( S ` i ) - ( S ` k ) ) ) < x )
268	1, 10, 267	caurcvg 14407	1 |- ( ph -> S ~~> ( limsup ` S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   abscabs 13974   limsupclsp 14201   ~~> cli 14215   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149