Theorem supxrleubrnmpt 39632

Description: The supremum of a nonempty bounded indexed set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrleubrnmpt.x	|- F/ x ph
supxrleubrnmpt.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
supxrleubrnmpt.c	|- ( ph -> C e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
supxrleubrnmpt	|- ( ph -> ( sup ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) <_ C <-> A. x e. A B <_ C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)

Proof of Theorem supxrleubrnmpt

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrleubrnmpt.x	. . . 4 |- F/ x ph
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3		supxrleubrnmpt.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
4	1, 2, 3	rnmptssd 39385	. . 3 |- ( ph -> ran ( x e. A |-> B ) C_ RR* )
5		supxrleubrnmpt.c	. . 3 |- ( ph -> C e. RR* )
6		supxrleub 12156	. . 3 |- ( ( ran ( x e. A |-> B ) C_ RR* /\ C e. RR* ) -> ( sup ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) <_ C <-> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( sup ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) <_ C <-> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C ) )
8		nfmpt1 4747	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
9	8	nfrn 5368	. . . . . . 7 |- F/_ x ran ( x e. A |-> B )
10		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x z <_ C
11	9, 10	nfral 2945	. . . . . 6 |- F/ x A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C
12	1, 11	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C )
13		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
14	2	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ B e. RR* ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
15	13, 3, 14	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
16	15	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C ) /\ x e. A ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
17		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C ) /\ x e. A ) -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C )
18		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( z <_ C <-> B <_ C ) )
19	18	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ran ( x e. A |-> B ) /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C ) -> B <_ C )
20	16, 17, 19	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C ) /\ x e. A ) -> B <_ C )
21	20	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C ) -> ( x e. A -> B <_ C ) )
22	12, 21	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C ) -> A. x e. A B <_ C )
23	22	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C -> A. x e. A B <_ C ) )
24		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
25	2	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( z e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A z = B ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A z = B )
27	26	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) -> E. x e. A z = B )
28	27	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A B <_ C /\ z e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> E. x e. A z = B )
29		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x e. A B <_ C
30		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A B <_ C /\ x e. A ) -> B <_ C )
31	18	biimprcd 240	. . . . . . . . . 10 |- ( B <_ C -> ( z = B -> z <_ C ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A B <_ C /\ x e. A ) -> ( z = B -> z <_ C ) )
33	32	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A B <_ C -> ( x e. A -> ( z = B -> z <_ C ) ) )
34	29, 10, 33	rexlimd 3026	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A B <_ C -> ( E. x e. A z = B -> z <_ C ) )
35	34	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A B <_ C /\ z e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( E. x e. A z = B -> z <_ C ) )
36	28, 35	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A B <_ C /\ z e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> z <_ C )
37	36	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( A. x e. A B <_ C -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C )
38	37	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. A B <_ C -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C ) )
39	23, 38	impbid 202	. 2 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ C <-> A. x e. A B <_ C ) )
40	7, 39	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( sup ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) <_ C <-> A. x e. A B <_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   supcsup 8346   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  supxrleubrnmptf  39680