Theorem supxrleubrnmptf 39680

Description: The supremum of a nonempty bounded indexed set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrleubrnmptf.x	|- F/ x ph
supxrleubrnmptf.a	|- F/_ x A
supxrleubrnmptf.n	|- F/_ x C
supxrleubrnmptf.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
supxrleubrnmptf.c	|- ( ph -> C e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
supxrleubrnmptf	|- ( ph -> ( sup ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) <_ C <-> A. x e. A B <_ C ) )

Proof of Theorem supxrleubrnmptf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrleubrnmptf.a	. . . . . . 7 |- F/_ x A
2		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y A
3		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y B
4		nfcsb1v 3549	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
5		csbeq1a 3542	. . . . . . 7 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvmptf 4748	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
7	6	rneqi 5352	. . . . 5 |- ran ( x e. A |-> B ) = ran ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
8	7	supeq1i 8353	. . . 4 |- sup ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) = sup ( ran ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B ) , RR* , < )
9	8	breq1i 4660	. . 3 |- ( sup ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) <_ C <-> sup ( ran ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B ) , RR* , < ) <_ C )
10	9	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( sup ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) <_ C <-> sup ( ran ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B ) , RR* , < ) <_ C ) )
11		nfv 1843	. . 3 |- F/ y ph
12		supxrleubrnmptf.x	. . . . . 6 |- F/ x ph
13	1	nfcri 2758	. . . . . 6 |- F/ x y e. A
14	12, 13	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ y e. A )
15	4	nfel1 2779	. . . . 5 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. RR*
16	14, 15	nfim 1825	. . . 4 |- F/ x ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. RR* )
17		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
18	17	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ y e. A ) ) )
19	5	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B e. RR* <-> [_ y / x ]_ B e. RR* ) )
20	18, 19	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. RR* ) ) )
21		supxrleubrnmptf.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
22	16, 20, 21	chvar 2262	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ B e. RR* )
23		supxrleubrnmptf.c	. . 3 |- ( ph -> C e. RR* )
24	11, 22, 23	supxrleubrnmpt 39632	. 2 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B ) , RR* , < ) <_ C <-> A. y e. A [_ y / x ]_ B <_ C ) )
25		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x <_
26		supxrleubrnmptf.n	. . . . 5 |- F/_ x C
27	4, 25, 26	nfbr 4699	. . . 4 |- F/ x [_ y / x ]_ B <_ C
28		nfv 1843	. . . 4 |- F/ y B <_ C
29		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( x = y <-> y = x )
30	29	imbi1i 339	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B ) <-> ( y = x -> B = [_ y / x ]_ B ) )
31		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( B = [_ y / x ]_ B <-> [_ y / x ]_ B = B )
32	31	imbi2i 326	. . . . . . 7 |- ( ( y = x -> B = [_ y / x ]_ B ) <-> ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B ) )
33	30, 32	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B ) <-> ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B ) )
34	5, 33	mpbi 220	. . . . 5 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
35	34	breq1d 4663	. . . 4 |- ( y = x -> ( [_ y / x ]_ B <_ C <-> B <_ C ) )
36	2, 1, 27, 28, 35	cbvralf 3165	. . 3 |- ( A. y e. A [_ y / x ]_ B <_ C <-> A. x e. A B <_ C )
37	36	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( A. y e. A [_ y / x ]_ B <_ C <-> A. x e. A B <_ C ) )
38	10, 24, 37	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( sup ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) <_ C <-> A. x e. A B <_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   [_csb 3533   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   supcsup 8346   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  40007