Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrunb3 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem supxrunb3 39623
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb3 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
Distinct variable group:   x, A, y
Proof of Theorem supxrunb3
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2re 10209 . . . . . . . . 9 |- ( w e. RR -> ( w + 1 ) e. RR )
21adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ w e. RR ) -> ( w + 1 ) e. RR )
3 simpl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ w e. RR ) -> A. x e. RR E. y e. A x <_ y )
4 breq1 4656 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( w + 1 ) -> ( x <_ y <-> ( w + 1 ) <_ y ) )
54rexbidv 3052 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( w + 1 ) -> ( E. y e. A x <_ y <-> E. y e. A ( w + 1 ) <_ y ) )
65rspcva 3307 . . . . . . . 8 |- ( ( ( w + 1 ) e. RR /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> E. y e. A ( w + 1 ) <_ y )
72, 3, 6syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ w e. RR ) -> E. y e. A ( w + 1 ) <_ y )
87adantll 750 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) /\ w e. RR ) -> E. y e. A ( w + 1 ) <_ y )
9 nfv 1843 . . . . . . . . 9 |- F/ y A C_ RR*
10 nfcv 2764 . . . . . . . . . 10 |- F/_ y RR
11 nfre1 3005 . . . . . . . . . 10 |- F/ y E. y e. A x <_ y
1210, 11nfral 2945 . . . . . . . . 9 |- F/ y A. x e. RR E. y e. A x <_ y
139, 12nfan 1828 . . . . . . . 8 |- F/ y ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y )
14 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ y w e. RR
1513, 14nfan 1828 . . . . . . 7 |- F/ y ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) /\ w e. RR )
16 simp1r 1086 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A /\ ( w + 1 ) <_ y ) -> w e. RR )
17 rexr 10085 . . . . . . . . . . 11 |- ( w e. RR -> w e. RR* )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A /\ ( w + 1 ) <_ y ) -> w e. RR* )
191rexrd 10089 . . . . . . . . . . 11 |- ( w e. RR -> ( w + 1 ) e. RR* )
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A /\ ( w + 1 ) <_ y ) -> ( w + 1 ) e. RR* )
21 simp1l 1085 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A /\ ( w + 1 ) <_ y ) -> A C_ RR* )
22 simp2 1062 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A /\ ( w + 1 ) <_ y ) -> y e. A )
23 ssel2 3598 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* )
2421, 22, 23syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A /\ ( w + 1 ) <_ y ) -> y e. RR* )
2516ltp1d 10954 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A /\ ( w + 1 ) <_ y ) -> w < ( w + 1 ) )
26 simp3 1063 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A /\ ( w + 1 ) <_ y ) -> ( w + 1 ) <_ y )
2718, 20, 24, 25, 26xrltletrd 11992 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A /\ ( w + 1 ) <_ y ) -> w < y )
28273exp 1264 . . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) -> ( y e. A -> ( ( w + 1 ) <_ y -> w < y ) ) )
2928adantlr 751 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) /\ w e. RR ) -> ( y e. A -> ( ( w + 1 ) <_ y -> w < y ) ) )
3015, 29reximdai 3012 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) /\ w e. RR ) -> ( E. y e. A ( w + 1 ) <_ y -> E. y e. A w < y ) )
318, 30mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) /\ w e. RR ) -> E. y e. A w < y )
3231ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> A. w e. RR E. y e. A w < y )
3332ex 450 . . 3 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> A. w e. RR E. y e. A w < y ) )
34 breq1 4656 . . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w < y <-> x < y ) )
3534rexbidv 3052 . . . . . . 7 |- ( w = x -> ( E. y e. A w < y <-> E. y e. A x < y ) )
3635cbvralv 3171 . . . . . 6 |- ( A. w e. RR E. y e. A w < y <-> A. x e. RR E. y e. A x < y )
3736biimpi 206 . . . . 5 |- ( A. w e. RR E. y e. A w < y -> A. x e. RR E. y e. A x < y )
38 nfv 1843 . . . . . . 7 |- F/ x A C_ RR*
39 nfra1 2941 . . . . . . 7 |- F/ x A. x e. RR E. y e. A x < y
4038, 39nfan 1828 . . . . . 6 |- F/ x ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x < y )
41 simpll 790 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x < y ) /\ x e. RR ) -> A C_ RR* )
42 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x < y ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
43 rspa 2930 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. RR E. y e. A x < y /\ x e. RR ) -> E. y e. A x < y )
4443adantll 750 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x < y ) /\ x e. RR ) -> E. y e. A x < y )
45 rexr 10085 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
4645ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) /\ x < y ) -> x e. RR* )
4723adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) /\ x < y ) -> y e. RR* )
4847adantllr 755 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) /\ x < y ) -> y e. RR* )
49 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) /\ x < y ) -> x < y )
5046, 48, 49xrltled 39486 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) /\ x < y ) -> x <_ y )
5150ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
5251reximdva 3017 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y -> E. y e. A x <_ y ) )
5352adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x < y ) /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y -> E. y e. A x <_ y ) )
5444, 53mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x < y ) /\ x e. RR ) -> E. y e. A x <_ y )
55 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ E. y e. A x <_ y ) -> E. y e. A x <_ y )
5641, 42, 54, 55syl21anc 1325 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x < y ) /\ x e. RR ) -> E. y e. A x <_ y )
5756ex 450 . . . . . 6 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x < y ) -> ( x e. RR -> E. y e. A x <_ y ) )
5840, 57ralrimi 2957 . . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x < y ) -> A. x e. RR E. y e. A x <_ y )
5937, 58sylan2 491 . . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A w < y ) -> A. x e. RR E. y e. A x <_ y )
6059ex 450 . . 3 |- ( A C_ RR* -> ( A. w e. RR E. y e. A w < y -> A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) )
6133, 60impbid 202 . 2 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> A. w e. RR E. y e. A w < y ) )
62 supxrunb2 12150 . 2 |- ( A C_ RR* -> ( A. w e. RR E. y e. A w < y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
6361, 62bitrd 268 1 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269
This theorem is referenced by:  limsuppnfdlem  39933
  Copyright terms: Public domain W3C validator