Theorem ltp1d 10954

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	|- ( ph -> A < ( A + 1 ) )

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltp1 10861	. 2 |- ( A e. RR -> A < ( A + 1 ) )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> A < ( A + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  zltp1le  11427  rpnnen1lem5  11818  rpnnen1lem5OLD  11824  fznatpl1  12395  fzonn0p1  12544  seqf1olem1  12840  seqf1olem2  12841  bernneq3  12992  expmulnbnd  12996  discr1  13000  discr  13001  bcp1nk  13104  bcpasc  13108  hashfzp1  13218  hashfun  13224  seqcoll  13248  seqcoll2  13249  o1rlimmul  14349  fsum1p  14482  climcndslem2  14582  mertenslem1  14616  fprodntriv  14672  fprod1p  14698  fprodeq0  14705  binomfallfaclem2  14771  fallfacval4  14774  sqrt2irr  14979  nno  15098  iserodd  15540  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  4sqlem11  15659  vdwlem6  15690  vdwlem11  15695  vdwlem12  15696  sylow1lem1  18013  efgsfo  18152  efgred  18161  telgsums  18390  srgbinomlem3  18542  icopnfcnv  22741  cnheibor  22754  pjthlem1  23208  ovolicopnf  23292  uniioombllem3  23353  dvfsumrlim  23794  plyco0  23948  vieta1lem2  24066  mtest  24158  itgulm  24162  psercnlem1  24179  psercn  24180  abelthlem2  24186  abelthlem7  24192  logcnlem4  24391  atanlogsublem  24642  birthdaylem2  24679  efrlim  24696  fsumharmonic  24738  ftalem5  24803  basellem1  24807  basellem3  24809  ppiprm  24877  chtprm  24879  chtdif  24884  ppidif  24889  chtub  24937  perfectlem2  24955  gausslemma2dlem4  25094  gausslemma2dlem6  25097  lgsquadlem2  25106  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem3  25208  pntrlog2bndlem6  25272  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntlemc  25284  pntlemf  25294  ostth2lem1  25307  ostth2lem3  25324  axlowdimlem16  25837  crctcshwlkn0lem3  26704  wwlksnredwwlkn  26790  wwlksext2clwwlk  26924  smcnlem  27552  pjhthlem1  28250  pmtrto1cl  29849  psgnfzto1stlem  29850  esumpmono  30141  oddpwdc  30416  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  fsum2dsub  30685  breprexp  30711  subfaclim  31170  erdsze2lem2  31186  cvmliftlem7  31273  cvmliftlem10  31276  relowlssretop  33211  poimirlem1  33410  poimirlem2  33411  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem8  33417  poimirlem9  33418  poimirlem10  33419  poimirlem11  33420  poimirlem12  33421  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem22  33431  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  poimirlem25  33434  poimirlem28  33437  poimirlem29  33438  poimirlem31  33440  mblfinlem2  33447  itg2addnclem2  33462  isbnd3  33583  eldioph2lem1  37323  pell14qrgapw  37440  rmygeid  37531  monoords  39511  infxr  39583  supxrunb3  39623  uzubioo  39794  limsup10exlem  40004  xlimxrre  40057  xlimpnfv  40064  ioodvbdlimc1lem1  40146  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnxpaek  40157  dvnmul  40158  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  wallispilem5  40286  stirlinglem1  40291  stirlinglem3  40293  stirlinglem5  40295  stirlinglem6  40296  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  fourierdlem11  40335  fourierdlem12  40336  fourierdlem20  40344  fourierdlem30  40354  fourierdlem50  40373  fourierdlem54  40377  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem76  40399  fourierdlem77  40400  fourierdlem79  40402  fourierdlem102  40425  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem114  40437  etransclem46  40497  ioorrnopnxrlem  40526  caratheodorylem1  40740  vonioolem2  40895  vonicclem2  40898  smflimsuplem4  41029  perfectALTVlem2  41631  aacllem  42547